Question

【題目】閱讀資料，解決問題．

人教版《數學九年級（下冊）》的頁有這樣一個思考問題：

問題：如圖，在中，交，于點，，如果通過“相似的定義”證明？

根據“兩直線平行，同位角相等”容易得出三對對應角分別相等，再根據“平行線分線段成比例”的基本事實，容易得出，所以這個問題的核心時如何證明“”．

證明思路：過點作交于點，構造平行四邊形，得到，從而將比例式中的，轉化為共線的兩條線段，，同時也構造了基本圖形“”，得到，從而得證．

解決問題：

（）①類比資料中的證明思路，請你證明“三角形內角平分線定理”．

三角形內角平分線定理：三角形的內角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應成比例．

已知：如圖，中，是角平分線．

求證：．

②運用“三角形內角平分線定理”填空：

已知：如圖，中，是角平分線，，，，則__________．

（）我們知道，如果兩個三角形有相同的高或者相等的高，那么它們面積的比就等于底的比．

請你通過研究和面積的比來證明三角形內角平分線定理．

已知：如圖，中，是角平分線．

求證：．

Answer 1

【答案】（）①證明見解析② （2）證明見解析

【解析】

（1）①如圖過點作的平行線交的延長線于點，然后說明，利用相似三角形的性質即可完成證明;②設,然后利用（1）的結論和已知條件即可完成解答; （）過點作，的垂線，垂足為、，

過點作的垂線，垂足為;先利用角平分線定理說明，然后再利用等面積法得到和，從而得到，即.

（）①證明：過點作的平行線交的延長線于點，

∴，

又∵平分，

∵，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴．

②設，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

．

（）過點作，的垂線，垂足為、，

過點作的垂線，垂足為，

∵為的角分線，

∴，

，

又∵，

∴，

∴．