Question

9．如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC到E，使CE=CD．
（1）求證：∠DBC=∠E；
（2）若BD=4，BE=DE，求△BDE的面積．

Answer 1

分析 （1）根據等邊三角形的性質得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根據角之間的關系求得∠DBC=∠E．
（2）設CD=x，則BC=2x，由勾股定理求出BC=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，CD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，再利用${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}•BD•CD=\frac{1}{2}×4×\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$，${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}•BC•h=\frac{8\sqrt{3}}{3}$，求出h=2，
CE=CD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，${S}_{△BDE}=\frac{1}{2}•BE•h$=$\frac{1}{2}×（\frac{8\sqrt{3}}{3}+\frac{4\sqrt{3}}{3}）×2$=$\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$．

解答 解：（1）∵△ABC是等邊三角形，BD是中線，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∠DBC=30°（等腰三角形三線合一）．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=$\frac{1}{2}$∠BCD=30°．
∴∠DBC=∠E．
（2）設CD=x，則BC=2x，由勾股定理得：（2x）²-x²=4²，
x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
BC=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，CD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}•BD•CD=\frac{1}{2}×4×\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}•BC•h=\frac{8\sqrt{3}}{3}$
∴h=2，
CE=CD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
${S}_{△BDE}=\frac{1}{2}•BE•h$=$\frac{1}{2}×（\frac{8\sqrt{3}}{3}+\frac{4\sqrt{3}}{3}）×2$=$\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$．

點評 本題考查了等邊三角形的性質，解決本題的關鍵是熟記等邊三角形的性質．