Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸相較于A.B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（0，-3），拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1.

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）若拋物線的頂點(diǎn)為D，點(diǎn)E在拋物線上，且與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，直線AE交對(duì)稱軸于點(diǎn)F，試判斷四邊形CDEF的形狀，并說明理由；

（3）若點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上，是否存在以點(diǎn)A，E，M，P為頂點(diǎn)且以AE為一邊的平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y＝x22x3．（2）四邊形EFCD是正方形，理由見解析；P點(diǎn)坐標(biāo)為（1＋，3）或（1，3）或（0，3）

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1得，求出b，再根據(jù)C（0，-3）求出c=-3即可；

（2）結(jié)論四邊形EFCD是正方形．如圖1中，連接CE與DF交于點(diǎn)K．求出E、F、D、C四點(diǎn)坐標(biāo)，只要證明DF⊥CE，DF＝CE，KC＝KE，KF＝KD即可證明．

（3）如圖2中，存在以A，E，M，P為頂點(diǎn)且以AE為一邊的平行四邊形．根據(jù)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3或3，即可解決問題．

（1）∵二次函數(shù)的圖象與x軸相較于A.B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（0，-3），拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1.

∴

∴b=-2,

∵C（0，-3）

∴c=-3．

∴拋物線的解析式為y＝x22x3．

（2）結(jié)論：四邊形EFCD是正方形．

理由：如圖1中，連接CE與DF交于點(diǎn)K．

∵y＝（x1）24，

∴頂點(diǎn)D（1，4），

∵C、E關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，C（0，3），

∴E（2，3），

∵A（1，0），

設(shè)直線AE的解析式為y＝kx＋b，則

，解得，

∴直線AE的解析式為y＝x1．

∴F（1，2），

∴CK＝EK＝1，FK＝DK＝1，

∴四邊形EFCD是平行四邊形，

又∵CE⊥DF，CE＝DF，

∴四邊形EFCD是正方形．

（3）如圖2中，存在以A，E，M，P為頂點(diǎn)且以AE為一邊的平行四邊形．

由題意點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3或3，

當(dāng)y＝3時(shí)，x22x3＝3，解得x＝1±，

可得P1（1＋，2），P2（1，2），

當(dāng)y＝2時(shí)，x＝0，可得P3（0，3），

綜上所述當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1＋，3）或（1，3）或（0，3）時(shí)，存在以A，E，M，P為頂點(diǎn)且以AE為一邊的平行四邊形．