Question

【題目】如圖，在正方形中，，為對角線上一動點，連接，，過點作，交直線于點．點從點出發，沿著方向以每秒的速度運動，當點與點重合時，運動停止．設的面積為，點的運動時間為秒．

(1)求證：；

(2)求y與x之間關系的函數表達式，并寫出自變量x的取值范圍；

(3)求面積的最大值．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) ；(3)面積的最大值是50．

【解析】

（1）作輔助線，構建三角形全等，證明△AEM≌△EFN和△ADE≌△CDE（SAS），可得AE=CE=EF；

（2）分兩種情況：根據三角形的面積公式可得y與x之間關系的函數表達式，根據勾股定理計算BD的長可得x的取值；

（3）根據（2）中的兩種情況，分別利用配方法和二次函數的增減性可得結論．

(1)證明：過作，交于，交于，

∵四邊形是正方形，

∴，，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∵四邊形是正方形，

∴，，

∵，

∴，

∴；

（2）解：在Rt△BCD中，由勾股定理得：，

∴0≤x≤5，

由題意得：BE=2x，

∴BN=EN=x，

由（1）知：AE=EF=EC，

分兩種情況：

①當0≤x≤時，如圖1，

∵AB=MN=10，

∴ME=FN=10-x，

∴BF=FN-BN=10-x-x=10-2x，

∴y；

②當＜x≤5時，如圖2，過E作EN⊥BC于N，

∴EN=BN=x，

∴FN=CN=10-x，

∴BF=BC-2CN=10-2（10-x）=2x-10，

∴y=；

綜上，y與x之間關系的函數表達式為：；

（3）解：①當0≤x≤時，如圖1，

，

∵-2＜0，

∴當x=時，y有最大值是；

②當＜x≤5時，如圖2，

∴y=2x2-5x=2（x-）2-，

∵2＞0，

∴當x＞時，y隨x的增大而增大

∴當x=5時，y有最大值是50；

綜上，△BEF面積的最大值是50．