Question

【題目】如圖①，在鈍角中，，，點為邊中點，點為邊中點，將繞點逆時針方向旋轉度（）．

（1）如圖②，當時，連接、．求證：；

（2）如圖③，直線、交于點．在旋轉過程中，的大小是否發生變化？如變化，請說明理由；如不變，請求出這個角的度數；

（3）將從圖①位置繞點逆時針方向旋轉，求點的運動路程．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）的大小不發生變化，（3）

【解析】

(1）如圖①利用三角形的中位線定理，推出，可得，在圖②中，利用兩邊成比例夾角相等證明三角形細相似即可．

（2）利用相似三角形的性質證明即可．

（3）點的運動路程，是圖③﹣1中的的長的兩倍，求出圓心角，半徑，利用弧長公式計算即可．

（

（1）如圖②中，

由圖①，∵點為邊中點，點為邊中點，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴.

（2）的大小不發生變化，.

理由：如圖③中，設交于點．

∵，

∴，

∵，，，

∴.

（3）如圖③﹣1中．設的中點為，連接，以為邊向右作等邊，連接，．

以為圓心，為半徑作，

∵，，

∴，

∴點在上運動，

以為圓心，為半徑作，當直線與相切時，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴是等邊三角形，

∴，

∴，

∴，

∴的長，

觀察圖象可知，點的運動路程是的長的兩倍.