Question

【題目】在△中，已知是邊的中點，是△的重心，過點的直線分別交、于點、.

（1）如圖1，當∥時，求證：；

（2）如圖2，當和不平行，且點、分別在線段、上時，（1）中的結論是否成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由.

（3）如圖3，當點在的延長線上或點在的延長線上時，（1）中的結論是否成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）（1）中結論成立，理由見解析；（3）（1）中結論不成立，理由見解析.

【解析】

（1）根據G為重心可知，由EF∥BC可知,，故

（2）過點作∥交的延長線于點，、的延長線相交于點，則，，故要求式子，又，D是的中點，即，故有，所以原式，又有，得，故結論成立；

（3）由G點為重心可知，當點與點重合時，為中點，，故當點在的延長線上時，，,則，同理：當點在的延長線上時，，故結論不成立.

（1）證明： 是△重心

,

又∥,

,,

則.

（2）（1）中結論成立，理由如下：

如圖，過點作∥交的延長線于點，、的延長線相交于點，

則，

又

而是的中點，即

又

結論成立；

（3）（1）中結論不成立，理由如下：

當點與點重合時，為中點，,

點在的延長線上時，,

,則，

同理：當點在的延長線上時，，

結論不成立.