Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C、D在⊙O上，連結BC，過D作PF∥AC交AB于E，交⊙O于F，交BC于點G，交過B點的直線于點P，且∠BPF=∠ADC．

（1）判斷直線BP與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若⊙O的半徑為，AC=2，BE=1，求BP的長．

Answer 1

【答案】（1）直線BP和⊙O相切，理由見解析；（2）2．

【解析】

試題（1）先根據圓周角定理可得∠ACB＝90即AC⊥BC，根據平行線的性質可得∠CAB＝∠PEB，由∠ADC＝∠ABC，∠BPF＝∠ADC可得∠ABC＝∠BPF，即可證得△ABC∽△EPB，根據相似三角形的性質結合切線的判定方法即可證得結果；

（2）在Rt△ABC中根據勾股定理可得BC＝4，再根據相似三角形的性質即可求得結果.

（1）∵AB是⊙O的直徑

∴∠ACB＝90即AC⊥BC．

∵PF∥AC，

∴∠CAB＝∠PEB．

∵∠ADC＝∠ABC，∠BPF＝∠ADC，

∴∠ABC＝∠BPF．

∴△ABC∽△EPB

∴∠PBE＝∠ACB＝90°，

∴PB⊥OB．

∴BP與⊙O相切．

（2）∵Rt△ABC中，AC＝2，AB＝2，

∴BC＝4．

∵△ABC∽△EPB，

∴＝．

∴＝，

∴BP＝2．