Question

【題目】以坐標(biāo)原點為圓心，1為半徑的圓分別交x，y軸的正半軸于點A，B．

（1）如圖一，動點P從點A處出發(fā)，沿x軸向右勻速運動，與此同時，動點Q從點B處出發(fā)，沿圓周按順時針方向勻速運動．若點Q的運動速度比點P的運動速度慢，經(jīng)過1秒后點P運動到點（2，0），此時PQ恰好是⊙O的切線，連接OQ．求∠QOP的大小；

（2）若點Q按照（1）中的方向和速度繼續(xù)運動，點P停留在點（2，0）處不動，求點Q再經(jīng)過5秒后直線PQ被⊙O截得的弦長．

Answer 1

【答案】（1）∠QOP=60°；（2）QD=.

【解析】（1）解：如圖一，連結(jié)AQ．

由題意可知：OQ=OA=1.

∵OP=2,

∴A為OP的中點.

∵PQ與相切于點Q,

∴為直角三角形.

∴.

即ΔOAQ為等邊三角形.

∴∠QOP=60°．

（2）解：由（1）可知點Q運動1秒時經(jīng)過的弧長所對的圓心角為30°，若Q按照（1）中的方向和速度

繼續(xù)運動，那么再過5秒，則Q點落在與y軸負半軸的交點處（如圖二）.

設(shè)直線PQ與的另外一個交點為D，過O作OC⊥QD于點C，則C為QD的中點.

∵∠QOP=90°，OQ=1，OP=2,

∴QP=.

∵,

∴OC=.

∵OC⊥QD，OQ=1，OC=,

∴QC=.

∴QD=．

（1）利用切線性質(zhì)定理，以及OQ與OP之間的關(guān)系，可得出∠QOP的度數(shù)

（2）關(guān)鍵是求出Q點的運動速度，利用垂徑定理，勾股定理可以解決．