Question

【題目】如圖1，P為∠MON平分線OC上一點，以P為頂點的∠APB兩邊分別與射線OM和ON交于A、B兩點，如果∠APB在繞點P旋轉時始終滿足OAOB=OP2 ， 我們就把∠APB叫做∠MON的關聯角．

（1）如圖2，P為∠MON平分線OC上一點，過P作PB⊥ON于B，AP⊥OC于P，那么∠APB________∠MON的關聯角（填“是”或“不是”）．

（2）①如圖3，如果∠MON=60°，OP=2，∠APB是∠MON的關聯角，連接AB，求△AOB的面積和∠APB的度數；

②如果∠MON=α°（0°＜α°＜90°），OP=m，∠APB是∠MON的關聯角，直接用含有α和m的代數式表示△AOB的面積．

（3）如圖4，點C是函數y=（x＞0）圖象上一個動點，過點C的直線CD分別交x軸和y軸于A，B兩點，且滿足BC=2CA，直接寫出∠AOB的關聯角∠APB的頂點P的坐標．

Answer 1

【答案】是

【解析】試題分析：（1）先判斷出△OBP∽△OPA，即可；

（2）先根據關聯角求出OA×OB=4，再利用三角形的面積公式，以及相似，得到∠OAP=∠OPB，即可；

（3）根據條件分情況討論，點B在y軸正半軸和負半軸，在負半軸時，經過計算，不存在，②在正半軸時，由BC=2AC判斷出點C是線段AB的一個三等分點，即可．

試題解析：（1）∵P為∠MON平分線OC上一點，

∴∠BOP=∠AOP，

∵PB⊥ON于B，AP⊥OC于P，

∴∠OBP=∠OPA，

∴△OBP∽△OPA，

∴，

∴OP2=OA×OB，

∴∠APB是∠MON的關聯角．

故答案為是．

（2）①如圖，過點A作AH⊥OB，

∵∠APB是∠MON的關聯角，OP=2，

∴OA×OB=OP2=4，

在Rt△AOH中，∠AOH=90°，

∴sin∠AOH=，

∴AH=OAsin∠AOH，

∴S△AOB=OB×AH=OB×OA×sin60°=×OP2×=，

∵OP2=OA×OB，

∴，

∵點P為∠MON的平分線上一點，

∴∠AOP=∠BOP=∠MON=30°，

∴△AOP∽△POB，

∴∠OAP=∠OPB，

∴∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180°-30°=150°，

②由①有，S△AOB=OB×OA×∠MON=m2×sinα；

（3）∵過點C的直線CD分別交x軸和y軸于A，B兩點，且滿足BC=2CA，

∴只有點A在x軸正半軸，

①當點B在y軸負半軸時，點A只能在x軸正半軸．即：點P只能在第四象限，

設A（m，0），B（0，n）（m＞0，n＜0）

∴OA=m，OB=-n，

∵BC=2CA，

∴點A是BC中點，

∴點C（2m，-n），

∵點C在雙曲線y=上，

∴2m×（-n）=2，

∴mn=-1，

∵∠AOB的關聯角∠APB

∴OP2=OA×OB=|m||n|=1span>，

∴OP=1，

∵點P在∠AOB的平分線上，設P（a，-a）（a＞0），

∴OP2=2a2，

∴2a2=1，

∴a=或a=-（舍），

∴點P（，-）

②當點B在y軸正半軸，由于BC=2CA，所以，點A只能在x軸正半軸上，

設A（m，0），B（0，n）（m＞0，n＞0）

∴點C（， ），

∴×=2，

∴mn=9，

∵∠AOB的關聯角∠APB

∴OP2=OA×0B=mn=9，

∴OP=3，

∵點P在∠AOB的平分線上，即：點P在第一象限，設P（a，a），（a＞0）

∴OP2=2a2，

∴2a2=9，

∴a=或a=-（舍）

即：點P（， ），

綜上所述，點P的坐標為：（，-）或（， ）．