Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，點B的坐標為（1，0）．拋物線y=﹣x2+bx+c經過A、B兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是直線AB上方拋物線上的一點，過點P作PD垂直x軸于點D，交線段AB于點E，使PE最大．

①求點P的坐標和PE的最大值．

②在直線PD上是否存在點M，使點M在以AB為直徑的圓上；若存在，求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣3x+4；（2）①，P② M（，）或（，）

【解析】

（1）先根據已知求點A的坐標，利用待定系數法求二次函數的解析式；

（2）①根據A（﹣2，6），B（1，0），求得AB的解析式為：y=﹣2x+2，設P（a，﹣a2﹣3a+4），則E（a，﹣2a+2），利用PE=﹣a2﹣3a+4﹣(﹣2a+2)=﹣(a+)2+，根據二次函數的圖像與性質即求解；

②根據點M在以AB為直徑的圓上，得到∠AMB=90°，即AM2+BM2=AB2，求出，，AB2故可列出方程求解.

解：（1）∵B（1，0）

∴OB=1，

∵OC=2OB=2，

∴BC=3 ,C（﹣2，0）

Rt△ABC中，tan∠ABC=2，

∴=2，

∴AC=6，

∴A（﹣2，6），

把A（﹣2，6）和B（1，0）代入y=﹣x2+bx+c得：，

解得：，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣3x+4；

（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0），

易得AB的解析式為：y=﹣2x+2，

設P（a，﹣a2﹣3a+4），則E（a，﹣2a+2），

∴PE=﹣a2﹣3a+4﹣(﹣2a+2)=﹣a2﹣a+2=﹣(a+)2+

∴當a=時，PE=,此時P(,)

②∵M在直線PD上，且P(,)，

∴

+

AB2=32+62=45，

∵點M在以AB為直徑的圓上

此時∠AMB=90°，

∴AM2+BM2=AB2，

∴++=45

解得： ,

∴M（，）或（，）