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70. 將邊長為1的正方形ABCD，沿對角線AC折起，使BD=.則三棱錐D-ABC的體積為

　　解析：設AC、BD交于O點，則BO⊥AC 　　 且DO⊥AC，在折起后，這個垂直關系不變，因此∠BOD是二面角B-AC-D的平面角. 由于△DOB中三邊長已知，所以可求出∠BOD： 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 這是問題的一方面，另一方面為了求體積，應求出高，這個高實際上是△DOB中，OB邊上的高DE，理由是： 　　 　　 ∵DE⊥OB 　　 ∴DE⊥面ABC.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 由cos∠DOB=，知sin∠DOE= 　　 ∴DE= 　　 ∴ 　　 應選(B)

69. 如圖，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，E、F分別是AD、DD₁的中點，則面EFC₁B和面BCC₁所成二面角的正切值等于 　　 解析：為了作出二面角E-BC₁-C的平面角，需在一個面內取一點，過該點向另一個面引垂線(這是用三垂線定理作二面角的平面角的關鍵步驟)。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

從圖形特點看，應當過E(或F)作面BCC₁的垂線. 解析：過E作EH⊥BC，垂足為H. 過H作HG⊥BC₁，垂足為G.連EG. ∵面ABCD⊥面BCC₁，而EH⊥BC ∵EH⊥面BEC₁， EG是面BCC₁的斜線，HG是斜線EG在面BCC₁內的射影. ∵HG⊥BC₁，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 ∴EG⊥BC_1， 　　 ∴∠EGH是二面角E-BC₁-C的平面角。 　　 在Rt△BCC₁中：sin∠C₁BC== 　　 在Rt△BHG中：sin∠C₁BC= 　　 ∴HG=(設底面邊長為1).

　　 而EH=1， 　　 在Rt△EHG中：tg∠EGH= 　　 ∴∠EGH=arctg 　　 故二面角E-BC₁-C 等于arctg.　　　

68. m和n是分別在兩個互相垂直的面α、β內的兩條直線，α與β交于l，m和n與l既不垂直，也不平行，那么m和n的位置關系是 　　 A.可能垂直，但不可能平行 　　 B.可能平行，但不可能垂直 　　 C.可能垂直，也可能平行 　　 D.既不可能垂直，也不可能平行

解析：這種結構的題目，常常這樣處理，先假設某位置關系成立，在此基礎上進行推理，若無矛盾，且推理過程可逆，就肯定這個假設；若有矛盾，就否定這個假設。 　　 設m//n,由于m在β外，n在β內， 　　 ∴m//β 　　 而α過m與β交于l 　　 ∴m//l，這與已知矛盾， 　　 ∴m不平行n. 　　 設m⊥n，在β內作直線α⊥l, 　　 ∵α⊥β, 　　 ∴a⊥α, 　　 ∴m⊥a. 　　 又由于n和a共面且相交(若a//n 則n⊥l，與已知矛盾) 　　 ∴m⊥β, 　　 ∴m⊥l與已知矛盾， 　　 ∴m和n不能垂直. 　　 綜上所述，應選(D).

67.　 直線a是平面α的斜線，b在平α內，已知a與b成60°的角，且b與a在平α內的射影成45°角時，a與α所成的角是(　　 )

A.45°　　　　　　　　　　　　 B.60°

C.90°　　　　　　　　　　　　 D.135°

解A

66.　 空間四邊形ABCD中，AD=BC=2,E,F分別是AB,CD的中點，EF＝√3，則AD,BC所成的角為(　　　 )

A.30°　　　　　　　　　　　　 B.60°

C.90°　　　　　　　　　　　　 D.120°

解B注：考察異面直線所成角的概念，范圍及求法，需注意的是，異面直線所成的角不能是鈍角，而利用平行關系構造可求解的三角形，可能是鈍角三角形，望大家注意。同時求角的大小是先證明再求解這一基本過程。

65..如圖，空間四邊形ABCD的各邊及對角線長都是1，點M在邊AB上運動、點Q在邊CD上運動，則P、Q的最短距離為(　　 　　)

解析：B

當M,N分別為中點時。

因為AB, CD為異面直線，所以M, N的最短距離就是異面直線AB,CD的距離為最短。連接BN,AN則CD⊥BN,CD⊥AN且AN=BN,所以NM⊥AB。同理，連接CM,MD可得MN⊥CD。所以MN為AB,CD的公垂線。因為AN=BN＝所以在RT△BMN中，MN＝求異面直線的距離通常利用定義來求，它包括兩個步驟:先證一條線段同時與兩異面直線相交垂直；再利用數量關系求解。在做綜合題時往往大家只重視第二步，而忽略第一步。

64.異面直線a、b，a⊥b，c與a成30°角，則c與b成角的范圍是　　　　　　　　　　　　　　　　

(　　　 )

A. 　　　　　　　　　　　　　B.

C. 　　　　　　　　　　　　　D.

解A　　　 直線c在位置c2時,它與b成角的最大值為90°,直線c在c1位置時,它與b成角的最小值是60°

63.. 正方體ABCD-A’B’C’D’中,異面直線CD’和BC’所成的角的度數是(　　　 )

A.45°　　　　　　　　　　　　 B.60°

C.90°　　　　　　　　　　　　 D.120°

解析：B　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∠AD’C=60°即為異面直線CD’和BC’所成的角的度數為60°

62.在正方體ABCD-A’B’C’D’中12條棱中能組成異面直線的總對數是

(　　　 )

A.48對　　　　　　　　　　　　　 B.24對

C.12對　 　　　　　　　　　　　　D.6對

解析：B　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

棱AA’有4條與之異面,所以,所有棱能組成4×12=48對,但每一對都重復計算一次,共有24對.

61. 在正方體ABCD-A’B’C’D’中,與棱AA’異面的直線共有幾條

(　　　 )

A.4　　　　　　　　　　　　　 B.6

C.8　　　　　　　　　　　　　 D.10

解析：A