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設a₀為常數，且a_n=3^n-1-2a_n-1（n∈N*）。
（1）證明對任意n≥1，有a_n=[3ⁿ+（-1）^n-12ⁿ]+（-1）ⁿ2ⁿa₀；
（2）假設對任意n≥1有a_n＞a_n-1，求a₀的取值范圍。

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設a₀為常數，且a_n=3^n-1-2a_n-1（n∈N）。
（1）證明：對任意n≥1，；
（2）假設對任意n≥1有a_n＞a_n-1，求a₀的取值范圍。

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一、選擇題：

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

二、填空題：

11. ；      12. ；          13. ；

14. ；            15. ；        16. ③ ④ .

三、解答題：

17.解：（1）在中，由，得，  又由正弦定理： 得：.                                     ……………………4分

（2）由余弦定理：得：，

即，解得或（舍去），所以.       ……8分

所以，

即.                                      …………………12分

18.解：（1）依題意，雙曲線的方程可設為：、，

則                解之得：，

所以雙曲線的方程為：.                  ……………………6分

（2）設、，直線與軸交于點，此點即為雙曲線的右焦點，由   消去，得，

此方程的且，，

所以、兩點分別在左、右支上，不妨設在左支、在右支上   ………9分

則由第二定義知：，，     …………11分

所以

，即. ………14分

（亦可求出、的坐標，用兩點間距離公式求.）

19.（1）當點為的中點時，與平面平行.

∵在中，、分別為、的中點

∴∥   又平面，而平面 

    ∴∥平面.                              ……………………4分

（2）證明（略證）：易證平面，又是在平面內的射影，，∴.                         ……………………8分

 (3)∵與平面所成的角是，∴，，.

過作于，連，則.     …………………10分

易知：，，設，則，，

在中，，

得.                 ………14分

解法二:（向量法）（1）同解法一

（2）建立圖示空間直角坐標系，則，                          ，，.

設，則

      ∴   （本小題4分）

（3）設平面的法向量為，由，

得：，

依題意，∴，

得.                             （本小題6分）

20.解：（1），

∴可設，

因而   ①

由  得          ②

∵方程②有兩個相等的根，

∴，即  解得  或

由于，（舍去），將 代入 ①  得 的解析式.                                …………………6分

（2）=，

∵在區間內單調遞減，

∴在上的函數值非正，

由于，對稱軸，故只需，注意到，∴，得或（舍去）

故所求a的取值范圍是.                     …………………11分

 （3）時，方程僅有一個實數根，即證方程 僅有一個實數根.令，由，得，，易知在，上遞增，在上遞減，的極大值，的極小值，故函數的圖像與軸僅有一個交點，∴時，方程僅有一個實數根，得證.                                    ……………………16分

21.解：（1），                        ……………………1分

=.                      ……………………4分

（2），           ……………………5分

，………7分

∴數列是為首項，為公比的等比數列.       ……………………8分

（3）由（2）知， S_n =， ……………9分

=∵0<<1，∴>0，，0<<1，，

∴，                                     ……………………11分

又當時，，∴， ……………………13分

∴<.……14分