Question

設a₀為常數，且a_n=3^n-1-2a_n-1（n∈N*）。
（1）證明對任意n≥1，有a_n=[3ⁿ+（-1）^n-12ⁿ]+（-1）ⁿ2ⁿa₀；
（2）假設對任意n≥1有a_n＞a_n-1，求a₀的取值范圍。

Answer 1

解：（1）當n=1時，由已知a₁=1-2a₀，等式成立；
（ii）假設當n=k（k≥1）等式成立，則
那么
 
也就是說，當n=k+1時，等式也成立
根據（i）和（ii），可知等式對任何n∈N₊，成立。
（2）由通項公式
 
∴
等價于 ①
（i）當n=2k-1，k=1，2，…時，①式即為
即為②
②式對k=1，2，…都成立，有
（ii）當n=2k，k=1，2，…時，①式即為
即為③
③式對k=1，2，…都成立，有

綜上，①式對任意n∈N*，成立，有
故a₀的取值范圍為。