Question

設(shè)a₀為常數(shù)，且a_n=3^n-1-2a_n-1（n∈N）。
（1）證明：對任意n≥1，；
（2）假設(shè)對任意n≥1有a_n＞a_n-1，求a₀的取值范圍。

Answer 1

解：（1）（i）當(dāng)n=1時，由已知a₁=1-2a₀，等式成立；
（ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）等式成立，則
那么
 
也就是說，當(dāng)n=k+1時，等式也成立
根據(jù)（i）和（ii），可知等式對任何n∈N，成立。
（2）由a_n通項公式

∴
等價于  ①
（i）當(dāng)n=2k-1，k=1，2，…時，①式即為
即為 ②
②式對k=1，2，…都成立，
有
（ii）當(dāng)n=2k，k=1，2，…時，①式即為
即為 ③
③式對k=1，2，…都成立，有

綜上，①式對任意n∈N*，成立，有
故a₀的取值范圍為。