Question

已知函數f（x）=alnx+x²（a為實常數）．
（1）當a=-4時，求函數f（x）在[1，e]上的最大值及相應的x值；
（2）當x∈[1，e]時，討論方程f（x）=0根的個數．
（3）若a＞0，且對任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）把a=-4代入函數解析式，求出函數的導函數，由導函數的零點把給出的定義[1，e]分段，判出在各段內的單調性，從而求出函數在[1，e]上的最大值及相應的x值；
（2）把原函數f（x）=alnx+x²求導，分a≥0和a＜0討論打哦函數的單調性，特別是當a＜0時，求出函數f（x）在[1，e]上的最小值及端點處的函數值，然后根據最小值和F（e）的值的符號討論在x∈[1，e]時，方程f（x）=0根的個數；
（3）a＞0判出函數f（x）=alnx+x²在[1，e]上為增函數，在規定x₁＜x₂后把轉化為f（x₂）+＜f（x₁）+，構造輔助函數G（x）=f（x）+，由該輔助函數是減函數得其導函數小于等于0恒成立，分離a后利用函數單調性求a的范圍．
解答：解：（1）當a=-4時，f（x）=-4lnx+x²，函數的定義域為（0，+∞）．
．
當x∈時，f^′（x）0，
所以函數f（x）在上為減函數，在上為增函數，
由f（1）=-4ln1+1²=1，f（e）=-4lne+e²=e²-4，
所以函數f（x）在[1，e]上的最大值為e²-4，相應的x值為e；
（2）由f（x）=alnx+x²，得．
若a≥0，則在[1，e]上f^′（x）＞0，函數f（x）=alnx+x²在[1，e]上為增函數，
由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的個數是0；
若a＜0，由f^′（x）=0，得x=（舍），或x=．
若，即-2≤a＜0，f（x）=alnx+x²在[1，e]上為增函數，
由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的個數是0；
若，即a≤-2e²，f（x）=alnx+x²在[1，e]上為減函數，
由f（1）=1，f（e）=alne+e²=e²+a≤-e²＜0，
所以方程f（x）=0在[1，e]上有1個實數根；
若，即-2e²＜a＜-2，
f（x）在上為減函數，在上為增函數，
由f（1）=1＞0，f（e）=e²+a．
=．
當，即-2e＜a＜-2時，，方程f（x）=0在[1，e]上的根的個數是0．
當a=-2e時，方程f（x）=0在[1，e]上的根的個數是1．
當-e²≤a＜-2e時，，f（e）=a+e²≥0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的個數是2．
當-2e²＜a＜-e²時，，f（e）=a+e²＜0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的個數是1；
（3）若a＞0，由（2）知函數f（x）=alnx+x²在[1，e]上為增函數，
不妨設x₁＜x₂，則變為f（x₂）+＜f（x₁）+，由此說明函數G（x）=f（x）+在[1，e]單調遞減，所以G^′（x）=≤0對x∈[1，e]恒成立，即a對x∈[1，e]恒成立，
而在[1，e]單調遞減，所以a．
所以，滿足a＞0，且對任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有成立的實數a的取值范圍是
a．
點評：本題考查了利用導數求閉區間上的最值，考查了根的存在性及根的個數的判斷，考查了分類討論的數學思想方法和數學轉化思想方法，訓練了構造函數求變量的取值范圍，此題是有一定難度題目．