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設橢圓的左、右焦點分別為F₁（-c，0），F₂（c，0），以F₂為圓心，b-c為半徑作圓F₂，過橢圓上一點P作此圓的切線，切點為T，已知|PT|的最小值不小于．
（I）求橢圓的離心率e的取值范圍；
（II）設O為原點，橢圓的短半軸長為1，圓F₂與x軸的右交點為Q，過點Q作斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓相交于A、B兩點，若OA⊥OB，求直線l被圓F₂截得的弦長S的最大值．

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已知拋物線y²=4x的焦點為F₂，點F₁與F₂關于坐標原點對稱，直線m垂直于x軸（垂足為T），與拋物線交于不同的兩點P、Q且．
（I）求點T的橫坐標x；
（II）若以F₁，F₂為焦點的橢圓C過點．
①求橢圓C的標準方程；
②過點F₂作直線l與橢圓C交于A，B兩點，設，若的取值范圍．

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已知拋物線y²=4x的焦點為F₂，點F₁與F₂關于坐標原點對稱，直線m垂直于x軸（垂足為T），與拋物線交于不同的兩點P、Q且．
（I）求點T的橫坐標x；
（II）若以F₁，F₂為焦點的橢圓C過點．
①求橢圓C的標準方程；
②過點F₂作直線l與橢圓C交于A，B兩點，設，若的取值范圍．

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一、選擇題

    （1）C                 （2）B          （3）D          （4）A          （5）B

    （6）B                 （7）B          （8）D          （9）D          （10）A

    （11）B        （12）C

二、填空題

    （13）                  （14）－6            （15）            （16）576

三、解答題

    （17）（本小題滿分12分）

    解：（I）當時，。

    依條件有：

    ∴

    ∴的單調增區間為  6分

    （II）設

    ∴

    ∴

    ∴

    依條件令，即時，為偶函數。  12分

    （18）（本小題滿分12分）

    解：（I）四件產品逐一取出排成一列共有種方法，前兩次取出的產品都是二等品的共有種方法，∴前兩次取出的產品都是二等品的概率為；  6分

    （II）的所有可能取值為2，3，4，∴的概率分布為

2

3

4

P

    ∴  12分

    （19）（本小題滿分12分）

    （I）證明：∵ABC－A₁B₁C₁是直三棱柱，

    ∴CC₁⊥平面ABC，∴AC⊥CC₁。

    ∵AC⊥BC，∴AC⊥平面B₁BCC₁。

    ∴B₁C是AB₁在平面B₁BCC₁上的射影。

    ∵BC＝CC₁，∴四邊形B₁BCC₁是正方形。

    ∴BC₁⊥B₁C。根據三垂線定理得

    AB₁⊥BC₁  4分

    （II）解：設，作OP⊥AB₁于點P

    連結BP，∵BO⊥AC，且BO⊥B₁C，

    ∴BO⊥平面AB₁C

    ∴OP是BP在平面AB₁C上的射影。

    根據三垂線定理得AB₁⊥BP。

    ∴∠OPB是二面角B－AB₁－C的平面角

    ∵

    在Rt△POB中，

    ∴二面角B－AB₁－C的正切值為  8分

    （III）解：解法1：∵A₁C₁∥AC，AC平面AB₁C，

    ∴A₁C₁∥平面AB₁C。

    ∴點A₁到平面AB₁C的距離與點C₁到平面AB₁C的距離相等。

    ∵BC₁⊥平面AB₁C，

    ∴線段C₁O的長度為點A₁到平面AB₁C的距離

    ∴點A₁到平面AB₁C的距離為a  12分

    解法2：連結A₁C，有設點A₁到平面AB₁C的距離為h。

    ∵B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，∴?h＝，

    又

    ∴，

    ∴點A₁到平面AB₁C的距離為  12分

    （20）（本小題滿分12分）

    解：（I）若在[0，）上是增函數，則時

    恒成立

    即恒成立

    ∴

    故a的取值范圍是  6分

    （II）若上是增函數

    則恒成立

    即對所有的均成立

    得，與題設矛盾。

    ∴上不是增函數  12分

    （21）（本小題滿分14分）

    解：（I）設E（x，y），則

    由已知得

    ∴

    即為點E的軌跡方程。  4分

    （II）設橢圓C的方程為，過F₁的直線為

    ，P、Q在橢圓C上，

    ∴

    兩式相減，得  ①

    而，

    代入①得  ②

    由與圓相切，得代入②得，

    而橢圓C的方程為  9分

    （III）假設存在直線，設MN的中點為

    由|TM|＝|TN|，∴TP為線段MN的中垂線，其方程為

    又設

    相減并由

    整理得：

    又點P（－4k，2）在橢圓的內部

    ∴，解之得，即k不存在

    ∴不存在直線l滿足題設條件。  14分

    （22）（本小題滿分12分）

    解：（I）P₂表示從S點到A（或B、C、D），然后再回到S點的概率

    所以；

    因為從S點沿SA棱經過B或D，然后再回到S點的概率為，

    所以  4分

    （II）設小蟲爬行n米后恰回到S點的概率為P_n，那么表示爬行n米后恰好沒回到S點的概率，則此時小蟲必在A（或B、C、D）點

    所以  8分

    （III）由

    從而

    所以

                             12分