Question

設橢圓的左、右焦點分別為F₁（-c，0），F₂（c，0），以F₂為圓心，b-c為半徑作圓F₂，過橢圓上一點P作此圓的切線，切點為T，已知|PT|的最小值不小于．
（I）求橢圓的離心率e的取值范圍；
（II）設O為原點，橢圓的短半軸長為1，圓F₂與x軸的右交點為Q，過點Q作斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓相交于A、B兩點，若OA⊥OB，求直線l被圓F₂截得的弦長S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由|PT|=，知當且僅當|PF₁|取最小值時，|PT|取最小值．由|PF₁|_min=a-c，能得到離心率e的取值范圍．
（II）由Q（1，0），直線l的方程為y=k（x-1），聯立方程組，得（a²k²+1）x²-2a²k²x+a²k²-a²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有，，，再由OA⊥OB知k=a，直線方程為ax-y-a=0，再由圓心到F₂（c，0）到直線l的距離d=，能求出S的最大值．
解答：解：（I）由題意|PT|=，
當且僅當|PF₁|取最小值時，|PT|取最小值，
∵|PF₁|_min=a-c，
∴，
即，解得．
∴離心率e的取值范圍是[）．
（II）∵Q（1，0），直線l的方程為y=k（x-1），
聯立方程組，得（a²k²+1）x²-2a²k²x+a²k²-a²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有，，
∴y₁y₂=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=，
∴，
∵OA⊥OB，∴，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即k²=a²，
∴k=a，直線方程為ax-y-a=0，
∴圓心到F₂（c，0）到直線l的距離d=，
由，知S==，
∵，∴，
∴，
∴S，
故S的最大值為．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．