Question

已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F₂，點(diǎn)F₁與F₂關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，直線m垂直于x軸（垂足為T），與拋物線交于不同的兩點(diǎn)P、Q且．
（I）求點(diǎn)T的橫坐標(biāo)x；
（II）若以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓C過(guò)點(diǎn)．
①求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
②過(guò)點(diǎn)F₂作直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)，若的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意得到F₁和F₂的坐標(biāo)，設(shè)出P，Q的坐標(biāo)，然后直接利用進(jìn)行求解；
（Ⅱ）①設(shè)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，利用橢圓過(guò)點(diǎn)，結(jié)合a²=b²+1 即可求得a²，b²的值，則橢圓方程可求；
②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直接求解A，B的坐標(biāo)得到的值，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立后，利用，消掉點(diǎn)的坐標(biāo)得到λ與k的關(guān)系，根據(jù)λ的范圍求k的范圍，然后把轉(zhuǎn)化為含有k的函數(shù)式，最后利用基本不等式求出的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）如圖，

由題意得F₂（1，0），F(xiàn)₁（-1，0），設(shè)P（x，y），則Q（x，-y），
則，．
由，
得，即  ①
又P（x，y）在拋物線上，則  ②
聯(lián)立①、②得，，解得：x=2．
所以點(diǎn)T的橫坐標(biāo)x=2．
（Ⅱ）（ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c，由題意得c=1，
設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
因橢圓C過(guò)點(diǎn)，
則  ③
又a²=b²+1  ④
將④代入③，解得b²=1或（舍去）
所以a²=b²+1=2．
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（ⅱ）1）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，即λ=-1時(shí)，，，
又T（2，0），所以；
2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，即λ∈[-2，-1）時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）．
由，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），顯然y₁≠0，y₂≠0，則由根與系數(shù)的關(guān)系，
可得：，．
  ⑤
  ⑥
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124157967491387/SYS201310251241579674913021_DA/26.png">，所以，且λ＜0．
將⑤式平方除以⑥式得：
由λ∈[-2，-1），得，即．
故，解得．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124157967491387/SYS201310251241579674913021_DA/33.png">，所以，
又，
故
=．
令，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124157967491387/SYS201310251241579674913021_DA/39.png">，所以，即，
所以．
所以
綜上所述：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了分類討論的數(shù)學(xué)解題思想，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是難度較大的題目．