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按照新課程的要求, 高中學生在每學期都要至少參加一次社會實踐活動(以下簡稱活動). 該校高2010級一班50名學生在上學期參加活動的次數統計如圖所示．
（I）求該班學生參加活動的人均次數；（II）從該班中任意選兩名學生，求他們參加活動次數恰好相等的概率．
（III）從該班中任選兩名學生，用表示這兩人參加活動次數之差的絕對值，求隨機變量的分布列及數學期望．

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按照新課程的要求，高中學生在每學期都要至少參加一次社會實踐活動（以下簡稱活動）．某校高一•一班50名學生在上學期參加活動的次數統計如條形圖所示．
（ I）求該班學生參加活動的人均次數；
（ II）從該班中任意選兩名學生，求他們參加活動次數恰好相等的概率；
（ III）從該班中任選兩名學生，用ξ表示這兩人參加活動次數之差的絕對值，求隨機變量ξ的分布列及數學期望Eξ．（要求：答案用最簡分數表示）

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按照新課程的要求，高中學生在每學期都要至少參加一次社會實踐活動（以下簡稱活動）．某校高一•一班50名學生在上學期參加活動的次數統計如條形圖所示．
（ I）求該班學生參加活動的人均次數

.

x

；
（ II）從該班中任意選兩名學生，求他們參加活動次數恰好相等的概率；
（ III）從該班中任選兩名學生，用ξ表示這兩人參加活動次數之差的絕對值，求隨機變量ξ的分布列及數學期望Eξ．（要求：答案用最簡分數表示）

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一.選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

C

A

A

B

D

A

D

D

A

B

A

二.填空題

   13. .;       14. ;      15. 15;         16. ,可以填寫任意實數

三、解答題

17．（Ⅰ）

(Ⅱ)

由得,從而,即 .所以,函數與軸交點的橫坐標為.           12分

18.由圖可知，參加活動1次、2次和3次的學生人數分別為5、25和20．

（I）該班學生參加活動的人均次數為=．     3分

（II）從該班中任選兩名學生，他們參加活動次數恰好相等的概率為．                                               6分

（III）從該班中任選兩名學生，記“這兩人中一人參加1次活動，另一人參加2次活動”為事件，“這兩人中一人參加2次活動，另一人參加3次活動”為事件，“這兩人中一人參加1次活動，另一人參加3次活動”為事件．易知

；                     8分

.                                     10分

的分布列：

0

1

2

的數學期望：．                            12分

19．（Ⅰ）∵AD=2AB=2，E是AD的中點，

∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，

易知，∠BEC=90°，即BE⊥EC    

又∵平面D′EC⊥平面BEC，面D′EC∩面BEC=EC，

∴BE⊥面D′EC，又CD′面D′EC，∴BE⊥CD′ 6分

（Ⅱ）法一：設M是線段EC的中點，過M作MF⊥BC

垂足為F，連接D′M，D′F，則D′M⊥EC

∵平面D′EC⊥平面BEC，∴D′M⊥平面EBC，

∴MF是D′F在平面BEC上的射影，

由三垂線定理得：D′F⊥BC，∴∠D′FM是二面D′―BC―E的平面角.

在Rt△D′MF中，。∴，

即二面角D′―BC―E的正切值為.                         12分

法二：如圖，以EB，EC為x軸，y軸，過E垂直于平面BEC的射線為z軸，建立空間直角坐標系，則

設平面BEC的法向量為；平面D′BC的法向量為

由.取 

∴。 

∴二面角D′―BC―E的的正切值為.

20. (Ⅰ）設C方程為，則b = 1.

∴橢圓C的方程為  …………………………………………………6分

（Ⅱ）假設存在直線,使得點是的垂心.易知直線的斜率為，從而直線的斜率為1.設直線的方程為，代如橢圓的方程，并整理可得.設，則，.于是

解之得或.

當時，點即為直線與橢圓的交點，不合題意.當時，經檢驗知和橢圓相交，符合題意.  所以，當且僅當直線的方程為時, 點是的垂心.        12分

21. （Ⅰ）注意到當時, 直線是拋物線的對稱軸，分以下幾種情況討論.

(1) 當a>0時，函數y=, 的圖象是開口向上的拋物線的一段，

由<0知在上單調遞增，∴.

(2)當a=0時，, ,∴.      3分

(3)當a<0時,函數y=, 的圖象是開口向下的拋物線的一段，

若，即則                4分

若，即,則       5分

若，即,則.              6分

綜上有                                7分

（Ⅱ）當時，，所以， g(a)在上單調遞增，于是由g(a)的不減性知等價于或

解之得或.所以，的取值范圍為.               12分

22.(Ⅰ)對一切有，即  ,      ()                            4分

由及兩式相減,得:

       ∴是等差數列,且, .                                    8分

說明:本小題也可以運用先猜后證(數學歸納法)的方法求解.給分時,猜想正確得3分,證明給5分.

(Ⅱ) 由,知,因此,只需證明.                                              10分

當或時,結論顯然成立.當時,

所以,原不等式成立.                                                          14分