Question

按照新課程的要求，高中學生在每學期都要至少參加一次社會實踐活動（以下簡稱活動）．某校高一•一班50名學生在上學期參加活動的次數統計如條形圖所示．
（ I）求該班學生參加活動的人均次數

.

x

；
（ II）從該班中任意選兩名學生，求他們參加活動次數恰好相等的概率；
（ III）從該班中任選兩名學生，用ξ表示這兩人參加活動次數之差的絕對值，求隨機變量ξ的分布列及數學期望Eξ．（要求：答案用最簡分數表示）

Answer 1

分析：（ I）由圖可知，參加活動1次、2次和3次的學生人數分別為5、25和20．由此能求出該班學生參加活動的人均次數．
（ II）由圖可知，參加活動1次、2次和3次的學生人數分別為5、25和20．由此能求出從該班中任選兩名學生，他們參加活動次數恰好相等的概率．
（ III）從該班中任選兩名學生，記“這兩人中一人參加1次活動，另一人參加2次活動”為事件A，“這兩人中一人參加2次活動，另一人參加3次活動”為事件B，“這兩人中一人參加1次活動，另一人參加3次活動”為事件C．
易知P(ξ=1)=P(A)+P(B)=

C 1 5 C 1 25

C 2 50

+

C 1 25 C 1 20

C 2 50

=

25

49

；P（ξ=2）=P（C）=

C 1 5 C 1 20

C 2 50

=

4

49

．由此能求出ξ的分布列和ξ的數學期望．

解答：解：由圖可知，參加活動1次、2次和3次的學生人數分別為5、25和20．
（ I）該班學生參加活動的人均次數：

.

x

=

1×5+2×25+3×20

50

=

115

50

=

23

10

．
（ II）從該班中任選兩名學生，
他們參加活動次數恰好相等的概率為P=

C 2 5 + C 2 25 + C 2 20

C 2 50

=

20

49

．
（ III）從該班中任選兩名學生，
記“這兩人中一人參加1次活動，另一人參加2次活動”為事件A，
“這兩人中一人參加2次活動，另一人參加3次活動”為事件B，
“這兩人中一人參加1次活動，另一人參加3次活動”為事件C．
易知P(ξ=1)=P(A)+P(B)=

C 1 5 C 1 25

C 2 50

+

C 1 25 C 1 20

C 2 50

=

25

49

；
P（ξ=2）=P（C）=

C 1 5 C 1 20

C 2 50

=

4

49

．
∴ξ的分布列：

ξ	0	1	2
P	20 49	25 49	4 49

ξ的數學期望：Eξ=0×

20

49

+1×

25

49

+2×

4

49

=

33

49

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，考查學生的運算能力，考查學生探究研究問題的能力，解題時要認真審題，理解古典概型的特征：試驗結果的有限性和每一個試驗結果出現的等可能性，體現了化歸的重要思想．