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長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的側棱AA₁=a，底面ABCD的邊長AB=2a，BC=a，E為C₁D₁的中點；
（1）求證：DE⊥平面BCE；
（2）求二面角E-BD-C的正切值．

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棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁∩B₁D₁=O．
①求異面直線OA與BD₁所成角的余弦值；
②求OA與平面BB₁D₁D所成角的余弦值．

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長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是側棱BB₁的中點．
（I）求證：直線AE⊥平面A₁D₁E；
（II）求三棱錐A-A₁D₁E的體積．

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長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA1=

2

，AB=BC=2，O是底面對角線的交點．
（Ⅰ）求證：B₁D₁∥平面BC₁D；
（Ⅱ）求證：A₁O⊥平面BC₁D；
（Ⅲ）求三棱錐A₁-DBC₁的體積．

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棱長為a的正方體A₁B₁C₁D₁-ABCD中，O為面ABCD的中心．
（1）求證：AC₁⊥平面B₁CD₁；
（2）求四面體OBC₁D₁的體積；
（3）線段AC上是否存在P點（不與A點重合），使得A₁P∥面CC₁D₁D？如果存在，請確定P點位置，如果不存在，請說明理由．

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一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5分。共60分。

CBDDD   ABDAB    DA

二、填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題4分，共16分。

(13)     (14)  ―192    (15)    (16) ①③④

三、解答題：本大題共6小題，共74分。

(17)(本小題滿分12分)

解：（Ⅰ）…………………………………………1分

依題意            …………………………………………2分

又               

                      …………………………………………4分

              …………………………………………5分

令 x=0,得    ………………………7分

所以， 函數的解析式為 ……………………………8分

（還有其它的正確形式，如：等）

（Ⅱ）當，時單增     ……10分

即，           …………………………………………11分

∴的增區間是   ………………………………………12分

（注意其它正確形式，如：區間左右兩端取開、閉，等）

 (18)(本小題滿分12分)  

解：(Ⅰ)設等差數列的公差為，等比數列的公比為，

由題設知，∴，∴

則，∴………………………………3分

∴

又∵，

∴，

又，∴，

∴，又

∴，

∴………………………………………………………6分

(Ⅱ) ，……………………………………7分

∴

  ①

 ②……………………………9分

①一②得

∴………………………………………………………12分

(19)(本小題滿分12分)

解：（1）設,∵幾何體的體積為，

∴，      ………………………3分

即，

即，解得．

∴的長為4．                ……………………………6分

（2）在線段上存在點，使直線與垂直．     

以下給出兩種證明方法：

方法1：過點作的垂線交于點，過點作 

交于點．

∵，，，

∴平面．

∵平面，∴．

∵，∴平面．

∵平面，∴．      

在矩形中，∵∽，

∴，即，∴．

∵∽，∴，即，∴．………………………9分

在中，∵，∴．

由余弦定理，得

．………………………11分

∴在線段上存在點,使直線與垂直，且線段的長為． ………………………12分

方法2：以點為坐標原點，分別以，，所在的直線為軸，軸，軸建立如圖的空間直角坐標系，由已知條件與（1）可知，，，，   ………………………7分

假設在線段上存在點≤≤2，，0≤≤

使直線與垂直，過點作交于點．

由∽，得，

∴．

∴．

∴，．

∵，∴，

即，∴．   ……………………9分    

此時點的坐標為，在線段上．

∵，∴．……………11分

∴在線段上存在點，使直線與垂直，且線段的長為． ……………………12分

 (20)(本小題滿分12分)

解：(Ⅰ)的所有可能值為0，1，2，3，4.…………………………1分

，

，

，

.                  　　　　　   　  ……………………4分

其分布列為：

0

1

2

3

4

…………………………6分

 (Ⅱ)，

 .                            　　　　   …………………………8分

由題意可知

，                       　　　　　   …………………………10分

元.   　　　　  …………………………12分

 (21)(本小題滿分12分)

解:(Ⅰ)因為，所以有

所以為直角三角形；…………………………2分

則有

所以，…………………………3分

又，………………………4分

在中有

即，解得

所求橢圓方程為…………………………6分

 (Ⅱ)

從而將求的最大值轉化為求的最大值…………………………8分

是橢圓上的任一點，設，則有即

又，所以………………………10分

而,所以當時，取最大值

故的最大值為…………………………12分

 (22)(本小題滿分14分)

（1）解法1：∵，其定義域為，  

∴．                 ……………………1分

∵是函數的極值點，∴，即．                                          

∵，∴．                                              

經檢驗當時，是函數的極值點，

∴．　                                  ……………………5分          

解法2：∵，其定義域為，

∴．                ……………………1分

令，即，整理，得．

∵，

∴的兩個實根（舍去），，……………………3分

當變化時，，的變化情況如下表：

―

0

＋

極小值

依題意，，即，……………………5分

∵，∴．                           

（2）解：對任意的都有≥成立等價于對任意的