Question

棱長為a的正方體A₁B₁C₁D₁-ABCD中，O為面ABCD的中心．
（1）求證：AC₁⊥平面B₁CD₁；
（2）求四面體OBC₁D₁的體積；
（3）線段AC上是否存在P點（不與A點重合），使得A₁P∥面CC₁D₁D？如果存在，請確定P點位置，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用正方體的性質可得AB⊥B₁C，由正方形的性質可得B₁C⊥BC₁．再利用線面垂直的判定可得B₁C⊥AC₁，同理可得AC₁⊥CD₁，利用線面垂直的判定定理即可證明結論；
（2））由CC₁∥平面BB₁D₁D，可得點C₁到平面BOD₁的距離與點C到此平面的距離相等，利用“等體積變形”即可得到∴V四面體OBC1D1=VC1-BOD1=VC-BOD1，利用三棱錐的體積計算公式即可得出．
（3）利用面面平行的性質即可得出結論．

解答：（1）證明：由正方體可得AB⊥平面BCC₁B₁，
∴AB⊥B₁C．
由正方形BCC₁B₁可得B₁C⊥BC₁．
而AB∩BC₁=B，∴B₁C⊥平面ABC₁，
∴B₁C⊥AC₁．
同理可證，CD₁⊥AC₁，
又CB₁∩CD₁=C，∴AC₁⊥平面B₁CD₁；
（2）∵CC₁∥平面BB₁D₁D，∴點C₁到平面BOD₁的距離與點C到此平面的距離相等，
∴V四面體OBC1D1=VC1-BOD1=VC-BOD1=

1

3

S△BOD1×OC=

1

3

×

1

2

×

2 a

2

×a×

2 a

2

=

a3

12

．
（3）由正方體可得平面ABB₁A₁∥平面CC₁D₁D，故過點A₁與平面CC₁D₁D平行的直線只能在平面ABB₁A₁內，
因此在線段AC上除了點A外不存在其它點P，使得A₁P∥面CC₁D₁D．

點評：熟練掌握方體的性質、正方形的性質、線面垂直的判定和性質定理、線面平行的性質定理、“等體積變形”、三棱錐的體積計算公式、面面平行的性質定理是解題的結論．