Question

長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的側棱AA₁=a，底面ABCD的邊長AB=2a，BC=a，E為C₁D₁的中點；
（1）求證：DE⊥平面BCE；
（2）求二面角E-BD-C的正切值．

Answer 1

分析：（1）因為AA₁=a，AB=2a，BC=a，E為C₁D₁的中點；所以DE⊥CE，結合線段的長度關系可得DE⊥EB，進而證明線面垂直．
（2）取DC的中點F，則EF⊥平面BCD，作FH⊥BD于H，連EH，則∠EHF就是二面角E-BD-C的平面角，然后把二面角放入三角形中利用解三角形的有關知識解決問題．

解答：解：（1）∵AA₁=a，AB=2a，BC=a，E為C₁D₁的中點；
∴DE=CE=

2

a，?DE⊥CE，
又∵DB=

5

a，EB=

3

a，
∴DE⊥EB，
又因為CE∩EB=E
所以DE⊥平面BCE
（2）取DC的中點F，則EF⊥平面BCD，作FH⊥BD于H，連EH，
則∠EHF就是二面角E-BD-C的平面角，
由題意得EF=a，
在Rt△DFH中，HF=

5

5

a
所以tan∠EHF=

5

．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結構特征與幾何體的線段長度關系，進而解決線面平行與垂直問題，以及空間角與空間距離等問題．