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（本題滿分14分）

已知函數

(Ⅰ)若時，函數在其定義域上是增函數，求b的取值范圍；

    (Ⅱ)在（Ⅰ）的結論下，設函數的最小值；

    (Ⅲ)設函數的圖象C₁與函數的圖象C₂交于P、Q，過線段PQ的中點R作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點M、N，問是否存在點R，使C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標；若不存在，請說明理由.

（本小題滿分14分）對于定義在區間D上的函數，若存在閉區間和常數，使得對任意，都有，且對任意∈D，當時，恒成立，則稱函數為區間D上的“平底型”函數.
（Ⅰ）判斷函數和是否為R上的“平底型”函數？   并說明理由；
（Ⅱ）設是（Ⅰ）中的“平底型”函數，k為非零常數，若不等式 對一切R恒成立，求實數的取值范圍；
（Ⅲ）若函數是區間上的“平底型”函數，求和的值.
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（本小題滿分14分）已知定義在實數集上的函數 N，其導函數記為，且滿足，其中、、為常數，.設函數R且.

（Ⅰ）求實數的值；

（Ⅱ）若函數無極值點，其導函數有零點，求m的值；

（Ⅲ）求函數在的圖象上任一點處的切線斜率k的最大值.

（本小題滿分14分）對于定義在區間D上的函數，若存在閉區間和常數，使得對任意，都有，且對任意∈D，當時，恒成立，則稱函數為區間D上的“平底型”函數.

（Ⅰ）判斷函數和是否為R上的“平底型”函數？并說明理由；

（Ⅱ）設是（Ⅰ）中的“平底型”函數，k為非零常數，若不等式 對一切R恒成立，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）若函數是區間上的“平底型”函數，求和的值.

（本小題滿分14分）設函數的定義域是R，對于任意實數，恒有，且當 時，．

（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）求證：，且當時，有；

（Ⅲ）判斷在R上的單調性，并加以證明.