Question

（本小題滿分14分）對于定義在區間D上的函數，若存在閉區間和常數，使得對任意，都有，且對任意∈D，當時，恒成立，則稱函數為區間D上的“平底型”函數.

（Ⅰ）判斷函數和是否為R上的“平底型”函數？并說明理由；

（Ⅱ）設是（Ⅰ）中的“平底型”函數，k為非零常數，若不等式 對一切R恒成立，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）若函數是區間上的“平底型”函數，求和的值.

 

Answer 1

【答案】

 

【解析】

【解】（1）對于函數，當時，.

當或時，恒成立，故是“平底型”函數

……………………………………………………………2分

對于函數，當時，；

當時，.

所以不存在閉區間，使當時，恒成立.

故不是“平底型”函數.                 ……………………………………4分

（Ⅱ）若對一切R恒成立，則.

因為，所以.又，則.  ……6分

因為，則，解得.

故實數的范圍是.              …………………………………………………8分

（Ⅲ）因為函數是區間上的“平底型”函數，則

存在區間和常數，使得恒成立.

所以恒成立，即.解得或.  ……10分

當時，.

當時，，當時，恒成立.

此時，是區間上的“平底型”函數.                ………………12分

當時，.

當時，，當時，.

此時，不是區間上的“平底型”函數.                 ………………13分

綜上分析，m＝1，n＝1為所求.                 ………………………………………14分