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已知正項數列的前n項和滿足：，

（1）求數列的通項和前n項和；

（2）求數列的前n項和；

（3）證明：不等式  對任意的，都成立．

【解析】第一問中，由于所以

兩式作差，然后得到

從而得到結論

第二問中，利用裂項求和的思想得到結論。

第三問中，

又

結合放縮法得到。

解：（1）∵     ∴

      ∴

      ∴   ∴  ………2分

      又∵正項數列，∴           ∴ 

又n=1時，

∴   ∴數列是以1為首項，2為公差的等差數列……………3分

∴                             …………………4分

∴                   …………………5分 

（2）       …………………6分

    ∴

                          …………………9分

（3）

      …………………12分

又

        ，

   ∴不等式  對任意的，都成立．

已知正項數列的首項，前項和滿足．

（Ⅰ）求證：為等差數列，并求數列的通項公式；

（Ⅱ）記數列的前項和為，若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

已知正項數列的首項，前項和滿足．
（Ⅰ）求證：為等差數列，并求數列的通項公式；
（Ⅱ）記數列的前項和為，若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍．