Question

已知正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和滿足．

（Ⅰ）求證：為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)；(Ⅱ )．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求證為等差數(shù)列，只需證等于常數(shù)，由，而，代入整理可得為等差數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為求的最大值，而的前項(xiàng)和為可用拆項(xiàng)相消法求得的最大值，從而解一元二次不等式得實(shí)數(shù)的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）證明：當(dāng)時(shí)，，又，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092200510369357937/SYS201309220051474133714920_DA.files/image005.png">， ， ，  即，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．

由此可得，由，當(dāng)時(shí)，也適合，所以  ；

（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092200510369357937/SYS201309220051474133714920_DA.files/image025.png">，

所以， ， ，對(duì)任意的，不等式恒成立，，解得，

所以對(duì)任意的，不等式恒成立，實(shí)數(shù)的取值范圍．

考點(diǎn)：1、等差數(shù)列的證明，2、與的關(guān)系，3、求數(shù)列的通項(xiàng)公式，4、數(shù)列求和，5、解一元二次不等式．