已知正項數(shù)列
的首項
，前
項和
滿足
．
（Ⅰ）求證：
為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）記數(shù)列
的前項和為
，若對任意的
，不等式
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍．
解析試題分析：（Ⅰ）求證為等差數(shù)列，只需證
等于常數(shù)，由，而
，代入整理可得為等差數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項公式
；（Ⅱ）不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為求
的最大值，而的前項和為
可用拆項相消法求得的最大值，從而解一元二次不等式得實數(shù)的取值范圍．
試題解析：（Ⅰ）證明：當
時，
，又
，
，因為，，
， 即
，
，所以數(shù)列是首項為
，公差為的等差數(shù)列．
由此可得
，由
，當時，也適合，所以 ；
（Ⅱ）因為
，
所以，
，
，對任意的，不等式恒成立，
，解得
，
所以對任意的，不等式恒成立，實數(shù)的取值范圍．
考點：1、等差數(shù)列的證明，2、
與的關系，3、求數(shù)列的通項公式，4、數(shù)列求和，5、解一元二次不等式．
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
設
是首項為
，公差為
的等差數(shù)列
，
是其前
項和.
（1）若
，
，求數(shù)列的通項公式；
（2）記
，
，且
、
、
成等比數(shù)列，證明:
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
數(shù)列
的前n項和為
，
和
滿足等式
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求證：數(shù)列
是等差數(shù)列；
（Ⅲ）若數(shù)列
滿足
，求數(shù)列的前n項和
；
（Ⅳ）設
，求證：
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知各項均為正數(shù)的兩個無窮數(shù)列
、
滿足
．
（Ⅰ）當數(shù)列是常數(shù)列（各項都相等的數(shù)列），且
時，求數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）設、都是公差不為0的等差數(shù)列，求證：數(shù)列有無窮多個，而數(shù)列惟一確定；
（Ⅲ）設
，
，求證：
．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知數(shù)列
是首項為1，公差為
的等差數(shù)列，數(shù)列
是首項為1，公比為
的等比
數(shù)列．
（1）若
，
，求數(shù)列
的前
項和；
（2）若存在正整數(shù)
，使得
．試比較
與
的大小，并說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知等差數(shù)列{an}的通項公式為
，從數(shù)列{an}中依次取出a1，a2，a4，a8，…，
，…，構成一個新的數(shù)列{bn}，求{bn}的前n項和．
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為等差數(shù)列，且
,
為
項和.
及
，求數(shù)列
的通項公式
及其前
．
為其前n項和
，且
，求數(shù)列
的前
項和
．
的前
項和為
,
,
,求
,求數(shù)列
的前2012項和