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已知函數f(x)=(a-

1

2

)x2+lnx．（a∈R）
（1）當a=1時，求f（x）在區間[1，e]上的最大值和最小值；
（2）若在區間（1，+∞）上，函數f（x）的圖象恒在直線y=2ax下方，求a的取值范圍．

已知函數f(x)=

lnx

x

-1
（1）試判斷函數f（x）的單調性；
（2）設m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；
（3）試證明：對?n∈N^*，不等式ln(

1+n

n

)e＜

1+n

n

．

已知函數f（x）=

1

2

x2+lnx．
（Ⅰ）求函數f（x）在區間[1，e]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）求證：在區間（1，+∞）上函數f（x）的圖象在函數g（x）=

2

3

x3圖象的下方；
（Ⅲ）請你構造函數h（x），使函數F（x）=f（x）+h（x）在定義域（0，+∞）上，存在兩個極值點，并證明你的結論．

已知函數f（x）=elnx+

k

x

（其中e是自然對數的底數，k為正數）
（I）若f（x）在x=x₀處取得極值，且x₀是f（x）的一個零點，求k的值；
（II）若k∈[1，e]，求f（x）在區間[

1

e

，1]上的最大值；
（III）設函數g（x）=f（x）-kx在區間（

1

e

，e）上是減函數，求k的取值范圍．