Question

已知函數f（x）=

1

2

x2+lnx．
（Ⅰ）求函數f（x）在區間[1，e]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）求證：在區間（1，+∞）上函數f（x）的圖象在函數g（x）=

2

3

x3圖象的下方；
（Ⅲ）請你構造函數h（x），使函數F（x）=f（x）+h（x）在定義域（0，+∞）上，存在兩個極值點，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）對函數f（x）進行求導，然后根據導函數的正負判斷原函數的單調性，進而可求最值．
（2）先求出函數G（x）的解析式，然后求導進而判斷函數的單調性，最后求出函數在（1，+∞）上的最小值大于0進而可得證．
（3）假設h（x）=-

5

2

x，然后表示出函數F（x）的解析式后進行求導運算，令導函數等于0求出x的值，最后再用函數的單調性可證明有兩個極值點．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=x+

1

x

∵x＞0，∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是單調遞增函數，
∴f（x）在區間[1，e]上的最大值為f（e）=

1

2

e2+1，
最小值為f（1）=

1

2

；
（Ⅱ）證明：設G（x）=g（x）-f（x），
則G（x）=

2

3

x3-

1

2

x2-lnx，
G′(x)=2x2-x-

1

x

=

2x3-x2-1

x

=

x2(x-1)+x3-1

x

，
當x∈（1，+∞）時，顯然有G′（x）＞0，
∴G（x）在區間（1，+∞）上是單調增函數，
∴G（x）＞G（1）=

1

6

＞0在（1，+∞）上恒成立，
即g（x）＞f（x）在（1，+∞）上恒成立，
∴在區間（1，+∞）上函數f（x）的圖象在函數g（x）=

2

3

x3圖象的下方．
（Ⅲ）令h（x）=-

5

2

x，則F（x）=

1

2

x2+lnx-

5

2

x（x＞0），
F′(x)=x+

1

x

-

5

2

=

2x2-5x+2

2x

令F′（x）=0，得x=

1

2

，或x=2，令F′（x）＞0得，
0＜x＜

1

2

，或x＞2，令F′（x）＜0得，

1

2

＜x＜2
∴當h（x）=-

5

2

x時，函數F（x）=f（x）+h（x）在定義域（0，+∞）上，
存在兩個極值點x₁=

1

2

，x₂=2．

點評：本題主要考查函數的零點、求導運算、根據導函數的正負判斷函數的單調性．導數時高等數學下放到高中的內容，是高考的熱點每年必考，要給予重視．