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（15分） 如圖，已知點P在圓柱OO₁的底面⊙O上，AB、A₁B₁分別為⊙O、⊙O₁的直徑，且A₁A⊥平面PAB.

(1)求證：BP⊥A₁P；

(2)若圓柱OO₁的體積V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°，求三棱錐A₁－APB的體積．

(3)在AP上是否存在一點M，使異面直線OM與A₁B所成角的余弦值為 ？若存在，請指出M的位置，并證明；若不存在，請說明理由.