【題目】已知函數
．
（1）求函數
的零點；
（2）設函數
的圖象與函數
的圖象交于
，
兩點，求證：
；
（3）若
，且不等式
對一切正實數x恒成立，求k的取值范圍．
【答案】(1)x=1 (2)證明見解析 (3) 
【解析】
（1）令
，根據導函數確定函數的單調區間，求出極小值，進而求解；
（2）轉化思想，要證
，即證
，即證
，構造函數進而求證；
（3）不等式
對一切正實數
恒成立，
，設
，分類討論進而求解．
解：（1）令，所以
，
當
時，
，
在
上單調遞增；
當
時，
，在
單調遞減；
所以
，所以的零點為
．
（2）由題意
， 
，
要證
，即證
，即證，
令
，則
，由（1）知
，當且僅當時等號成立，所以
，
即，所以原不等式成立．
（3）不等式 對一切正實數恒成立，
，
設，
，
記
，△
，
①當△
時，即時，
恒成立，故
單調遞增．
于是當
時，
，又
，故
，
當
時，
，又
，故，
又當時，
，
因此，當時，
，
②當△
，即
時，設
的兩個不等實根分別為
，
，
又
，于是
，
故當
時，
，從而在
單調遞減；
當時，，此時，于是
，
即
舍去，
綜上，
的取值范圍是．
期末100分闖關海淀考王系列答案
小學能力測試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在正方體
中，
平面
，垂足為H，給出下面結論：
①直線
與該正方體各棱所成角相等；
②直線與該正方體各面所成角相等；
③過直線的平面截該正方體所得截面為平行四邊形；
④垂直于直線的平面截該正方體，所得截面可能為五邊形，
其中正確結論的序號為（ ）
A. ①③ B. ②④ C. ①②④ D. ①②③
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】以直角坐標系的原點
為極點， 
軸正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位，已知直線
的參數方程為
，（ 
為參數， 
），曲線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線
的直角坐標方程；
（2）設直線
與曲線
相交于
， 
兩點，當
變化時，求
的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，
分別為雙曲線
的左、右焦點，以
為直徑的圓與雙曲線在第一象限和第三象限的交點分別為
，
，設四邊形
的周長為
，面積為
，且滿足
，則該雙曲線的離心率為______.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某地有兩個國家AAAA級景區—甲景區和乙景區.相關部門統計了這兩個景區2019年1月至6月的客流量（單位：百人），得到如圖所示的莖葉圖.關于2019年1月至6月這兩個景區的客流量，下列結論正確的是（ ）
A.甲景區客流量的中位數為13000
B.乙景區客流量的中位數為13000
C.甲景區客流量的平均值比乙景區客流量的平均值小
D.甲景區客流量的極差比乙景區客流量的極差大
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
是橢圓
的右焦點，點
，
分別是
軸，
軸上的動點，且滿足
.若點
滿足
（
為坐標原點）．
（Ⅰ）求點的軌跡
的方程；
（Ⅱ）設過點任作一直線與點的軌跡交于
，
兩點，直線
，
與直線
分別交于點
，
，試判斷以線段
為直徑的圓是否經過點？請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某藝術品公司欲生產一款迎新春工藝禮品，該禮品是由玻璃球面和該球的內接圓錐組成，圓錐的側面用于藝術裝飾，如圖1.為了便于設計，可將該禮品看成是由圓
及其內接等腰三角形
繞底邊
上的高所在直線
旋轉180°而成，如圖2.已知圓的半徑為
，設
，圓錐的側面積為
.
（1）求
關于
的函數關系式；
（2）為了達到最佳觀賞效果，要求圓錐的側面積最大.求取得最大值時腰
的長度.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的左、右焦點分別為
，
，過且垂直于
軸的焦點弦的弦長為
，過的直線
交橢圓于
，
兩點，且
的周長為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知直線
，
互相垂直，直線過且與橢圓交于點
，
兩點，直線過且與橢圓交于
，
兩點.求
的值.
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