Question

【題目】已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線在第一象限和第三象限的交點(diǎn)分別為，，設(shè)四邊形的周長(zhǎng)為，面積為，且滿足，則該雙曲線的離心率為______.

Answer 1

【答案】

【解析】

本題首先可根據(jù)題意繪出圖像并設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)為，然后通過(guò)圓與雙曲線的對(duì)稱性得出，再根據(jù)“點(diǎn)即在圓上，也在雙曲線上”聯(lián)立方程組得出，然后根據(jù)圖像以及可得和，接下來(lái)利用雙曲線定義得出以及，最后根據(jù)并通過(guò)化簡(jiǎn)求值即可得出結(jié)果。

如圖所示，根據(jù)題意繪出雙曲線與圓的圖像，設(shè)，

由圓與雙曲線的對(duì)稱性可知，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，

因?yàn)閳A是以為直徑，所以圓的半徑為，

因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，也在雙曲線上，所以有，

聯(lián)立化簡(jiǎn)可得，整理得，

，，所以，

因?yàn)?/span>，所以，，

因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>，聯(lián)立可得，，

因?yàn)?/span>為圓的直徑，所以,

即，，，

，，，所以離心率。