Question

【題目】已知橢圓：的左、右焦點分別為，，過且垂直于軸的焦點弦的弦長為，過的直線交橢圓于，兩點，且的周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線，互相垂直，直線過且與橢圓交于點，兩點，直線過且與橢圓交于，兩點.求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】分析：（1）根據(jù)周長確定，由通徑確定，求得，因而確定橢圓的方程。

（2）分析得直線、直線的斜率存在時，根據(jù)過焦點可設(shè)出AB直線方程為，因而直線的方程為.聯(lián)立橢圓方程消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程.由韋達定理求得和，進而.

當AB斜率不存在時，求得，，所以。

當直線的斜率為時，求得，，所以。

即可判斷。

詳解：（1）將代入，得，所以.

因為的周長為，所以，，

將代入，可得，

所以橢圓的方程為.

（2）（i）當直線、直線的斜率存在且不為時，

設(shè)直線的方程為，則直線的方程為.

由消去得.

由韋達定理得，，

所以， .

同理可得.

.

（ii）當直線的斜率不存在時，，，.

（iii）當直線的斜率為時，，，.

綜上，.