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絕密★啟用前                                                        試卷類型：A

2009年山東省濱州市高考模擬考試

                    理科綜合試題                2009.3

     本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，共14頁。滿分240分。考試用時150分鐘。考試結束后，將答題紙和答題卡一并交回。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目填涂在答題紙和答題卡規定的位置。

第I卷（必做題  共88分）

注意事項：

    1．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。不涂在答題卡上，只答在試卷上不得分。

2．第I卷共22小題，每小題4分，共88分。

以下數據可供答題時參考：

相對原子質量：H:1  C:12  O:16  Na:23   AI:27   CI:35.5  Fe:56   Cu:64

試題詳情

2009年高考數學難點突破專題輔導十八

難點18  不等式的證明策略

不等式的證明，方法靈活多樣，它可以和很多內容結合.高考解答題中，常滲透不等式證明的內容，純不等式的證明，歷來是高中數學中的一個難點，本難點著重培養考生數學式的變形能力，邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力.

●難點磁場

(★★★★)已知a＞0，b＞0，且a+b=1.

求證：(a+)(b+)≥.

●案例探究

［例1］證明不等式(n∈N^*)

命題意圖：本題是一道考查數學歸納法、不等式證明的綜合性題目，考查學生觀察能力、構造能力以及邏輯分析能力，屬★★★★★級題目.

知識依托：本題是一個與自然數n有關的命題，首先想到應用數學歸納法，另外還涉及不等式證明中的放縮法、構造法等.

錯解分析：此題易出現下列放縮錯誤：

這樣只注重形式的統一，而忽略大小關系的錯誤也是經常發生的.

技巧與方法：本題證法一采用數學歸納法從n=k到n=k+1的過渡采用了放縮法；證法二先放縮，后裂項，有的放矢，直達目標；而證法三運用函數思想，借助單調性，獨具匠心，發人深省.

證法一：(1)當n等于1時，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立；

(2)假設n=k(k≥1)時，不等式成立，即1+＜2，

∴當n=k+1時，不等式成立.

綜合(1)、(2)得：當n∈N^*時，都有1+＜2.

另從k到k+1時的證明還有下列證法：

證法二：對任意k∈N^*，都有：

證法三：設f(n)=

那么對任意k∈N?^* 都有：

∴f(k+1)＞f(k)

因此，對任意n∈N^* 都有f(n)＞f(n－1)＞…＞f(1)=1＞0，

∴

［例2］求使≤a(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值.

命題意圖：本題考查不等式證明、求最值函數思想、以及學生邏輯分析能力，屬于★★★★★級題目.

知識依托：該題實質是給定條件求最值的題目，所求a的最值蘊含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有關性質把a呈現出來，等價轉化的思想是解決題目的突破口，然后再利用函數思想和重要不等式等求得最值.

錯解分析：本題解法三利用三角換元后確定a的取值范圍，此時我們習慣是將x、y與cosθ、sinθ來對應進行換元，即令=cosθ，=sinθ(0＜θ＜)，這樣也得a≥sinθ+cosθ，但是這種換元是錯誤的.其原因是：(1)縮小了x、y的范圍；(2)這樣換元相當于本題又增加了“x、y=1”這樣一個條件，顯然這是不對的.

技巧與方法：除了解法一經常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若參數a滿足不等關系，a≥f(x)，則a_min=f(x)_max；若 a≤f(x)，則a_max=f(x)_min，利用這一基本事實，可以較輕松地解決這一類不等式中所含參數的值域問題.還有三角換元法求最值用的恰當好處，可以把原問題轉化.

解法一：由于a的值為正數，將已知不等式兩邊平方，得：

x+y+2≤a²(x+y)，即2≤(a²－1)(x+y)，                                                     ①

∴x，y＞0，∴x+y≥2，                                                                                  ②

當且僅當x=y時，②中有等號成立.

比較①、②得a的最小值滿足a²－1=1，

∴a²=2，a= (因a＞0)，∴a的最小值是.

解法二：設.

∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2 (當x=y時“=”成立)，

∴≤1，的最大值是1.

從而可知，u的最大值為，

又由已知，得a≥u，∴a的最小值為.

解法三：∵y＞0，

∴原不等式可化為+1≤a，

設=tanθ，θ∈(0，).

∴tanθ+1≤a；即tanθ+1≤asecθ

∴a≥sinθ+cosθ=sin(θ+)，                                                                        ③

又∵sin(θ+)的最大值為1(此時θ=).

由③式可知a的最小值為.

●錦囊妙計

1.不等式證明常用的方法有：比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法.

(1)比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細敘述；如果作差以后的式子可以整理為關于某一個變量的二次式，則考慮用判別式法證.

(2)綜合法是由因導果，而分析法是執果索因，兩法相互轉換，互相滲透，互為前提，充分運用這一辯證關系，可以增加解題思路，開擴視野.

2.不等式證明還有一些常用的方法：換元法、放縮法、反證法、函數單調性法、判別式法、數形結合法等.換元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應用換元法時，要注意代換的等價性.放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標可以從要證的結論中考查.有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法.

證明不等式時，要依據題設、題目的特點和內在聯系，選擇適當的證明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應的步驟、技巧和語言特點.

●殲滅難點訓練

試題詳情

2009年高考數學難點突破專題輔導十七

難點17  三角形中的三角函數式

三角形中的三角函數關系是歷年高考的重點內容之一，本節主要幫助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧.

●難點磁場

(★★★★★)已知△ABC的三個內角A、B、C滿足A+C=2B.，求cos的值.

●案例探究

［例1］在海島A上有一座海拔1千米的山，山頂設有一個觀察站P，上午11時，測得一輪船在島北30°東，俯角為60°的B處，到11時10分又測得該船在島北60°西、俯角為30°的C處。

(1)求船的航行速度是每小時多少千米；

(2)又經過一段時間后，船到達海島的正西方向的D處，問此時船距島A有多遠？

命題意圖：本題主要考查三角形基礎知識，以及學生的識圖能力和綜合運用三角知識解決實際問題的能力.

知識依托：主要利用三角形的三角關系，關鍵找準方位角，合理利用邊角關系.

錯解分析：考生對方位角識別不準，計算易出錯.

技巧與方法：主要依據三角形中的邊角關系并且運用正弦定理來解決問題.

解：(1)在Rt△PAB中，∠APB=60° PA=1，∴AB= (千米)

在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC= (千米)

在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°

(2)∠DAC=90°－60°=30°

sinDCA=sin(180°－∠ACB)=sinACB=

sinCDA=sin(∠ACB－30°)=sinACB?cos30°－cosACB?sin30°.

在△ACD中，據正弦定理得，

∴

答：此時船距島A為千米.

［例2］已知△ABC的三內角A、B、C滿足A+C=2B，設x=cos，f(x)=cosB().

(1)試求函數f(x)的解析式及其定義域；

(2)判斷其單調性，并加以證明；

(3)求這個函數的值域.

命題意圖：本題主要考查考生運用三角知識解決綜合問題的能力，并且考查考生對基礎知識的靈活運用的程度和考生的運算能力，屬★★★★級題目.

知識依托：主要依據三角函數的有關公式和性質以及函數的有關性質去解決問題.

錯解分析：考生對三角函數中有關公式的靈活運用是難點，并且不易想到運用函數的單調性去求函數的值域問題.

技巧與方法：本題的關鍵是運用三角函數的有關公式求出f(x)的解析式，公式主要是和差化積和積化和差公式.在求定義域時要注意||的范圍.

解：(1)∵A+C=2B，∴B=60°，A+C=120°

∵0°≤||＜60°，∴x=cos∈(，1

又4x²－3≠0，∴x≠，∴定義域為(，)∪(，1］.

(2)設x₁＜x₂，∴f(x₂)－f(x₁)=

=，若x₁，x₂∈()，則4x₁²－3＜0，4x₂²－3＜0，4x₁x₂+3＞0，x₁－x₂＜0，∴f(x₂)－f(x₁)＜0

即f(x₂)＜f(x₁)，若x₁，x₂∈(，1］，則4x₁²－3＞0.

4x₂²－3＞0，4x₁x₂+3＞0，x₁－x₂＜0，∴f(x₂)－f(x₁)＜0.

即f(x₂)＜f(x₁)，∴f(x)在(,)和(，1上都是減函數.

(3)由(2)知，f(x)＜f()=－或f(x)≥f(1)=2.

故f(x)的值域為(－∞，－)∪［2，+∞.

●錦囊妙計

本難點所涉及的問題以及解決的方法主要有：

(1)運用方程觀點結合恒等變形方法巧解三角形；

(2)熟練地進行邊角和已知關系式的等價轉化；

(3)能熟練運用三角形基礎知識，正、余弦定理及面積公式與三角函數公式配合，通過等價轉化或構建方程解答三角形的綜合問題，注意隱含條件的挖掘.

●殲滅難點訓練

試題詳情

2009年高考數學難點突破專題輔導十六

難點16  三角函數式的化簡與求值

三角函數式的化簡和求值是高考考查的重點內容之一.通過本節的學習使考生掌握化簡和求值問題的解題規律和途徑，特別是要掌握化簡和求值的一些常規技巧，以優化我們的解題效果，做到事半功倍.

●難點磁場

(★★★★★)已知＜β＜α＜,cos(α－β)=,sin(α+β)=－,求sin2α的值_________.

●案例探究

［例1］不查表求sin²20°+cos²80°+cos20°cos80°的值.

命題意圖：本題主要考查兩角和、二倍角公式及降冪求值的方法，對計算能力的要求較高.屬于★★★★級題目.

知識依托：熟知三角公式并能靈活應用.

錯解分析：公式不熟，計算易出錯.

技巧與方法：解法一利用三角公式進行等價變形；解法二轉化為函數問題，使解法更簡單更精妙，需認真體會.

解法一：sin²20°+cos²80°+sin²20°cos80°

= (1－cos40°)+ (1+cos160°)+ sin20°cos80°

=1－cos40°+cos160°+sin20°cos(60°+20°)

=1－cos40°+ (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)

=1－cos40°－cos40°－sin40°+sin40°－sin²20°

=1－cos40°－(1－cos40°)=

解法二：設x=sin²20°+cos²80°+sin20°cos80°

y=cos²20°+sin²80°－cos20°sin80°，則

x+y=1+1－sin60°=，x－y=－cos40°+cos160°+sin100°

=－2sin100°sin60°+sin100°=0

∴x=y=，即x=sin²20°+cos²80°+sin20°cos80°=.

［例2］設關于x的函數y=2cos²x－2acosx－(2a+1)的最小值為f(a)，試確定滿足f(a)=的a值，并對此時的a值求y的最大值.

命題意圖：本題主要考查最值問題、三角函數的有界性、計算能力以及較強的邏輯思維能力.屬★★★★★級題目

知識依托：二次函數在給定區間上的最值問題.

錯解分析：考生不易考查三角函數的有界性，對區間的分類易出錯.

技巧與方法：利用等價轉化把問題化歸為二次函數問題，還要用到配方法、數形結合、分類講座等.

解：由y=2(cosx－)²－及cosx∈［－1，1］得：

f(a)

∵f(a)=,∴1－4a=a=［2,+∞

故－－2a－1=，解得：a=－1，此時，

y=2(cosx+)²+，當cosx=1時，即x=2kπ，k∈Z，y_max=5.

［例3］已知函數f(x)=2cosxsin(x+)－sin²x+sinxcosx

(1)求函數f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)的最小值及取得最小值時相應的x的值；

(3)若當x∈［，］時，f(x)的反函數為f^－1(x)，求f^-－1(1)的值.

命題意圖：本題主要考查三角公式、周期、最值、反函數等知識，還考查計算變形能力，綜合運用知識的能力，屬★★★★★級題目.

知識依托：熟知三角函數公式以及三角函數的性質、反函數等知識.

錯解分析：在求f^-－1(1)的值時易走彎路.

技巧與方法：等價轉化，逆向思維.

解：(1)f(x)=2cosxsin(x+)－sin²x+sinxcosx

=2cosx(sinxcos+cosxsin)－sin²x+sinxcosx

=2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+)

∴f(x)的最小正周期T=π

(2)當2x+=2kπ－，即x=kπ－ (k∈Z)時，f(x)取得最小值－2.

(3)令2sin(2x+)=1，又x∈［］,

∴2x+∈［,］,∴2x+=，則

x=，故f^-－1(1)= .

●錦囊妙計

本難點所涉及的問題以及解決的方法主要有：

1.求值問題的基本類型：1°給角求值，2°給值求值，3°給式求值，4°求函數式的最值或值域，5°化簡求值.

2.技巧與方法：

1°要尋求角與角關系的特殊性，化非特角為特殊角，熟練準確地應用公式.

2°注意切割化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換等常規技巧的運用.

3°對于條件求值問題，要認真尋找條件和結論的關系，尋找解題的突破口，很難入手的問題，可利用分析法.

4°求最值問題，常用配方法、換元法來解決.

●殲滅難點訓練

試題詳情

2009年高考數學難點突破專題輔導十五

難點15  三角函數的圖象和性質

三角函數的圖象和性質是高考的熱點，在復習時要充分運用數形結合的思想，把圖象和性質結合起來.本節主要幫助考生掌握圖象和性質并會靈活運用.

●難點磁場

(★★★★)已知α、β為銳角，且x(α+β－)＞0,試證不等式f(x)=^x＜2對一切非零實數都成立.

●案例探究

［例1］設z₁=m+(2－m²)i,z₂=cosθ+(λ+sinθ)i,其中m,λ,θ∈R，已知z₁=2z₂，求λ的取值范圍.

命題意圖：本題主要考查三角函數的性質，考查考生的綜合分析問題的能力和等價轉化思想的運用，屬★★★★★級題目.

知識依托：主要依據等價轉化的思想和二次函數在給定區間上的最值問題來解決.

錯解分析：考生不易運用等價轉化的思想方法來解決問題.

技巧與方法：對于解法一，主要運用消參和分離變量的方法把所求的問題轉化為二次函數在給定區間上的最值問題；對于解法二，主要運用三角函數的平方關系把所求的問題轉化為二次函數在給定區間上的最值問題.

解法一：∵z₁=2z₂，

∴m+(2－m²)i=2cosθ+(2λ+2sinθ)i,∴

∴λ=1－2cos²θ－sinθ=2sin²θ－sinθ－1=2(sinθ－)²－.

當sinθ=時λ取最小值－，當sinθ=－1時，λ取最大值2.

解法二：∵z₁=2z₂  ∴

∴,

∴=1.

∴m⁴－(3－4λ)m²+4λ²－8λ=0,設t=m²,則0≤t≤4,

令f(t)=t²－(3－4λ)t+4λ²－8λ,則或f(0)?f(4)≤0

∴

∴－≤λ≤0或0≤λ≤2.

∴λ的取值范圍是［－，2］.

［例2］如右圖，一滑雪運動員自h=50m高處A點滑至O點，由于運動員的技巧(不計阻力)，在O點保持速率v₀不為，并以傾角θ起跳，落至B點，令OB=L，試問，α=30°時，L的最大值為多少？當L取最大值時，θ為多大？

命題意圖：本題是一道綜合性題目，主要考查考生運用數學知識來解決物理問題的能力.屬★★★★★級題目.

知識依托：主要依據三角函數知識來解決實際問題.

錯解分析：考生不易運用所學的數學知識來解決物理問題，知識的遷移能力不夠靈活.

技巧與方法：首先運用物理學知識得出目標函數，其次運用三角函數的有關知識來解決實際問題.

解：由已知條件列出從O點飛出后的運動方程：

由①②整理得：v₀cosθ=

∴v₀²+gLsinα=g²t²+≥=gL

運動員從A點滑至O點，機械守恒有:mgh=mv₀²,

∴v₀²=2gh,∴L≤=200(m)

即L_max=200(m),又g²t²=.

∴

得cosθ=cosα,∴θ=α=30°∴L最大值為200米，當L最大時，起跳仰角為30°.

［例3］如下圖，某地一天從6時到14時的溫度變化曲線近似滿足函數y=Asin(ωx+φ)+b.

(1)求這段時間的最大溫差.

(2)寫出這段曲線的函數解析式.

命題意圖：本題以應用題的形式考查備考中的熱點題型，要求考生把所學的三角函數知識與實際問題結合起來分析、思考，充分體現了“以能力立意”的命題原則.屬★★★★級題目.

知識依托：依據圖象正確寫出解析式.

錯解分析：不易準確判斷所給圖象所屬的三角函數式的各個特定系數和字母.

技巧與方法：數形結合的思想，以及運用待定系數法確定函數的解析式.

解：(1)由圖示，這段時間的最大溫差是30－10=20(℃)；

(2)圖中從6時到14時的圖象是函數y=Asin(ωx+φ)+b的半個周期的圖象.

∴=14－6,解得ω=,由圖示A=(30－10)=10，b=(30+10)=20，這時y=10sin(x+φ)+20,將x=6,y=10代入上式可取φ=π.綜上所求的解析式為y=10sin(x+

π)+20,x∈［6,14］.

●錦囊妙計

本難點所涉及的問題及解決的方法主要有：

1.考查三角函數的圖象和性質的基礎題目，此類題目要求考生在熟練掌握三角函數圖象的基礎上要對三角函數的性質靈活運用.

2.三角函數與其他知識相結合的綜合題目，此類題目要求考生具有較強的分析能力和邏輯思維能力.在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點和重點，并可以逐漸加強.

3.三角函數與實際問題的綜合應用.

此類題目要求考生具有較強的知識遷移能力和數學建模能力，要注意數形結合思想在解題中的應用.

●殲滅難點訓練

試題詳情

2009年高考數學難點突破專題輔導十四

難點14  數列綜合應用問題

縱觀近幾年的高考，在解答題中，有關數列的試題出現的頻率較高，不僅可與函數、方程、不等式、復數相聯系，而且還與三角、立體幾何密切相關；數列作為特殊的函數，在實際問題中有著廣泛的應用，如增長率，減薄率，銀行信貸，濃度匹配，養老保險，圓鋼堆壘等問題.這就要求同學們除熟練運用有關概念式外，還要善于觀察題設的特征，聯想有關數學知識和方法，迅速確定解題的方向，以提高解數列題的速度.

●難點磁場

(★★★★★)已知二次函數y=f(x)在x=處取得最小值－ (t＞0),f(1)=0.

(1)求y=f(x)的表達式；

(2)若任意實數x都滿足等式f(x)?g(x)+a_nx+b_n=xⁿ⁺¹［g(x)］為多項式，n∈N^*),試用t表示a_n和b_n；

(3)設圓C_n的方程為(x－a_n)²+(y－b_n)²=r_n²，圓C_n與C_n+1外切(n=1,2,3,…);{r_n}是各項都是正數的等比數列，記S_n為前n個圓的面積之和，求r_n、S_n.

●案例探究

［例1］從社會效益和經濟效益出發，某地投入資金進行生態環境建設，并以此發展旅游產業，根據規劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少，本年度當地旅游業收入估計為400萬元，由于該項建設對旅游業的促進作用，預計今后的旅游業收入每年會比上年增加.

(1)設n年內(本年度為第一年)總投入為a_n萬元，旅游業總收入為b_n萬元，寫出a_n,b_n的表達式；

(2)至少經過幾年，旅游業的總收入才能超過總投入？

命題意圖：本題主要考查建立函數關系式、數列求和、不等式等基礎知識；考查綜合運用數學知識解決實際問題的能力，本題有很強的區分度，屬于應用題型，正是近幾年高考的熱點和重點題型，屬★★★★★級題目.

知識依托：本題以函數思想為指導，以數列知識為工具，涉及函數建模、數列求和、不等式的解法等知識點.

錯解分析：(1)問a_n、b_n實際上是兩個數列的前n項和，易與“通項”混淆；(2)問是既解一元二次不等式又解指數不等式，易出現偏差.

技巧與方法：正確審題、深刻挖掘數量關系，建立數量模型是本題的靈魂，(2)問中指數不等式采用了換元法，是解不等式常用的技巧.

解：(1)第1年投入為800萬元，第2年投入為800×(1－)萬元，…第n年投入為800×(1－)^n－1萬元，所以，n年內的總投入為

a_n=800+800×(1－)+…+800×(1－)^n－1=800×(1－)^k－1

=4000×［1－()ⁿ］

第1年旅游業收入為400萬元，第2年旅游業收入為400×(1+)，…，第n年旅游業收入400×(1+)^n－1萬元.所以，n年內的旅游業總收入為

b_n=400+400×(1+)+…+400×(1+)^k－1=400×()^k－1.

=1600×［()ⁿ－1］

(2)設至少經過n年旅游業的總收入才能超過總投入，由此b_n－a_n＞0，即：

1600×［()ⁿ－1］－4000×［1－()ⁿ］＞0，令x=()ⁿ，代入上式得：5x²－7x+2＞0.解此不等式，得x＜，或x＞1(舍去).即()ⁿ＜，由此得n≥5.

∴至少經過5年，旅游業的總收入才能超過總投入.

［例2］已知S_n=1++…+,(n∈N^*)設f(n)=S_2n+1－S_n+1,試確定實數m的取值范圍，使得對于一切大于1的自然數n，不等式：f(n)＞［log_m(m－1)］²－［log_(m－1)m］²恒成立.

命題意圖：本題主要考查應用函數思想解決不等式、數列等問題，需較強的綜合分析問題、解決問題的能力.屬★★★★★級題目.

知識依托：本題把函數、不等式恒成立等問題組合在一起，構思巧妙.

錯解分析：本題學生很容易求f(n)的和，但由于無法求和，故對不等式難以處理.

技巧與方法：解決本題的關鍵是把f(n)(n∈N*)看作是n的函數，此時不等式的恒成立就轉化為：函數f(n)的最小值大于［log_m(m－1)］²－［log_(m－1)m］².

解：∵S_n=1++…+.(n∈N^*)

∴f(n+1)＞f(n)

∴f(n)是關于n的增函數

∴f(n) _min=f(2)=

∴要使一切大于1的自然數n，不等式

f(n)＞［log_m(m－1)］²－［log_(m－1)m］²恒成立

只要＞［log_m(m－1)］²－［log_(m－1)m］²成立即可

由得m＞1且m≠2

此時設［log_m(m－1)］²=t  則t＞0

于是解得0＜t＜1

 由此得0＜［log_m(m－1)］²＜1

 解得m＞且m≠2.

●錦囊妙計

1.解答數列綜合題和應用性問題既要有堅實的基礎知識,又要有良好的思維能力和分析、解決問題的能力；解答應用性問題，應充分運用觀察、歸納、猜想的手段，建立出有關等差(比)數列、遞推數列模型，再綜合其他相關知識來解決問題.

2.縱觀近幾年高考應用題看，解決一個應用題，重點過三關：

(1)事理關：需要讀懂題意，明確問題的實際背景，即需要一定的閱讀能力.

(2)文理關：需將實際問題的文字語言轉化數學的符號語言，用數學式子表達數學關系.

(3)事理關：在構建數學模型的過程中；要求考生對數學知識的檢索能力，認定或構建相應的數學模型，完成用實際問題向數學問題的轉化.構建出數學模型后，要正確得到問題的解，還需要比較扎實的基礎知識和較強的數理能力.

●殲滅難點訓練

試題詳情

2009年高考數學難點突破專題輔導十三

難點13  數列的通項與求和

數列是函數概念的繼續和延伸，數列的通項公式及前n項和公式都可以看作項數n的函數，是函數思想在數列中的應用.數列以通項為綱，數列的問題，最終歸結為對數列通項的研究，而數列的前n項和S_n可視為數列{S_n}的通項。通項及求和是數列中最基本也是最重要的問題之一，與數列極限及數學歸納法有著密切的聯系，是高考對數列問題考查中的熱點，本點的動態函數觀點解決有關問題，為其提供行之有效的方法.

●難點磁場

(★★★★★)設{a_n}是正數組成的數列，其前n項和為S_n，并且對于所有的自然數n，a_n與2的等差中項等于S_n與2的等比中項.

(1)寫出數列{a_n}的前3項.

(2)求數列{a_n}的通項公式(寫出推證過程)

(3)令b_n=(n∈N^*)，求 (b₁+b₂+b₃+…+b_n－n).

●案例探究

［例1］已知數列{a_n}是公差為d的等差數列，數列{b_n}是公比為q的(q∈R且q≠1)的等比數列，若函數f(x)=(x－1)²，且a₁=f(d－1)，a₃=f(d+1)，b₁=f(q+1)，b₃=f(q－1)，

(1)求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；

(2)設數列{c_n}的前n項和為S_n，對一切n∈N^*，都有=a_n+1成立，求.

命題意圖：本題主要考查等差、等比數列的通項公式及前n項和公式、數列的極限，以及運算能力和綜合分析問題的能力.屬★★★★★級題目.

知識依托：本題利用函數思想把題設條件轉化為方程問題非常明顯，而(2)中條件等式的左邊可視為某數列前n項和，實質上是該數列前n項和與數列{a_n}的關系，借助通項與前n項和的關系求解c_n是該條件轉化的突破口.

錯解分析：本題兩問環環相扣，(1)問是基礎，但解方程求基本量a₁、b₁、d、q，計算不準易出錯；(2)問中對條件的正確認識和轉化是關鍵.

技巧與方法：本題(1)問運用函數思想轉化為方程問題，思路較為自然，(2)問“借雞生蛋”構造新數列{d_n}，運用和與通項的關系求出d_n，絲絲入扣.

解：(1)∵a₁=f(d－1)=(d－2)²，a₃=f(d+1)=d²，

∴a₃－a₁=d²－(d－2)²=2d，

∵d=2，∴a_n=a₁+(n－1)d=2(n－1)；又b₁=f(q+1)=q²，b₃=f(q－1)=(q－2)²，

∴=q²，由q∈R，且q≠1，得q=－2，

∴b_n=b?q^n－1=4?(－2)^n－1

(2)令=d_n，則d₁+d₂+…+d_n=a_n+1,(n∈N^*),

∴d_n=a_n+1－a_n=2,

∴=2,即c_n=2?b_n=8?(－2)^n－1；∴S_n=［1－(－2)ⁿ］.

∴

［例2］設A_n為數列{a_n}的前n項和，A_n= (a_n－1)，數列{b_n}的通項公式為b_n=4n+3;

(1)求數列{a_n}的通項公式；

(2)把數列{a_n}與{b_n}的公共項按從小到大的順序排成一個新的數列，證明：數列{d_n}的通項公式為d_n=3²ⁿ⁺¹;

(3)設數列{d_n}的第n項是數列{b_n}中的第r項，B_r為數列{b_n}的前r項的和；D_n為數列{d_n}的前n項和，T_n=B_r－D_n，求.

命題意圖：本題考查數列的通項公式及前n項和公式及其相互關系；集合的相關概念，數列極限，以及邏輯推理能力.

知識依托：利用項與和的關系求a_n是本題的先決；(2)問中探尋{a_n}與{b_n}的相通之處，須借助于二項式定理；而(3)問中利用求和公式求和則是最基本的知識點.

錯解分析：待證通項d_n=3²ⁿ⁺¹與a_n的共同點易被忽視而寸步難行；注意不到r與n的關系，使T_n中既含有n，又含有r，會使所求的極限模糊不清.

技巧與方法：(1)問中項與和的關系為常規方法，(2)問中把3拆解為4－1，再利用二項式定理，尋找數列通項在形式上相通之處堪稱妙筆；(3)問中挖掘出n與r的關系，正確表示B_r，問題便可迎刃而解.

解：(1)由A_n=(a_n－1)，可知A_n+1=(a_n+1－1)，

∴a_n+1－a_n= (a_n+1－a_n)，即=3，而a₁=A₁= (a₁－1)，得a₁=3，所以數列是以3為首項，公比為3的等比數列，數列{a_n}的通項公式a_n=3ⁿ.

(2)∵3²ⁿ⁺¹=3?3²ⁿ=3?(4－1)²ⁿ=3?［4²ⁿ+C?4^2n－1(－1)+…+C?4?(－1)+(－1)²ⁿ］=4n+3，

∴3²ⁿ+1∈{b_n}.而數3²ⁿ=(4－1)²ⁿ=4²ⁿ+C?4^2n－1?(－1)+…+C?4?(－1)+(－1)²ⁿ=(4k+1)，

∴3²ⁿ{b_n}，而數列{a_n}={a_2n+1}∪{a_2n}，∴d_n=3²ⁿ⁺¹.

(3)由3²ⁿ⁺¹=4?r+3，可知r=，

∴B_r=，

●錦囊妙計

1.數列中數的有序性是數列定義的靈魂，要注意辨析數列中的項與數集中元素的異同.因此在研究數列問題時既要注意函數方法的普遍性，又要注意數列方法的特殊性.

2.數列{a_n}前n 項和S_n與通項a_n的關系式：a_n=

3.求通項常用方法

①作新數列法.作等差數列與等比數列.

②累差疊加法.最基本形式是：a_n=(a_n－a_n－1+(a_n－1+a_n－2)+…+(a₂－a₁)+a₁.

③歸納、猜想法.

4.數列前n項和常用求法

①重要公式

1+2+…+n=n(n+1)

1²+2²+…+n²=n(n+1)(2n+1)

1³+2³+…+n³=(1+2+…+n)²=n²(n+1)²

②等差數列中S_m+n=S_m+S_n+mnd，等比數列中S_m+n=S_n+qⁿS_m=S_m+q^mS_n.

③裂項求和：將數列的通項分成兩個式子的代數和，即a_n=f(n+1)－f(n)，然后累加時抵消中間的許多項.應掌握以下常見的裂項：

④錯項相消法

⑤并項求和法

數列通項與和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法.

●殲滅難點訓練

試題詳情

2009年高考數學難點突破專題輔導十二

難點12  等差數列、等比數列的性質運用

等差、等比數列的性質是等差、等比數列的概念，通項公式，前n項和公式的引申.應用等差等比數列的性質解題，往往可以回避求其首項和公差或公比，使問題得到整體地解決，能夠在運算時達到運算靈活，方便快捷的目的，故一直受到重視.高考中也一直重點考查這部分內容.

●難點磁場

(★★★★★)等差數列{a_n}的前n項的和為30，前2m項的和為100，求它的前3m項的和為_________.

●案例探究

［例1］已知函數f(x)= (x<－2).

(1)求f(x)的反函數f^-－1(x);

(2)設a₁=1, =－f^－-1(a_n)(n∈N^*),求a_n;

(3)設S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²,b_n=S_n+1－S_n是否存在最小正整數m,使得對任意n∈N^*,有b_n<成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.

命題意圖：本題是一道與函數、數列有關的綜合性題目，著重考查學生的邏輯分析能力，屬★★★★★級題目.

知識依托：本題融合了反函數，數列遞推公式，等差數列基本問題、數列的和、函數單調性等知識于一爐，結構巧妙，形式新穎，是一道精致的綜合題.

錯解分析：本題首問考查反函數，反函數的定義域是原函數的值域，這是一個易錯點，(2)問以數列{}為橋梁求a_n,不易突破.

技巧與方法：(2)問由式子得=4,構造等差數列{},從而求得a_n,即“借雞生蛋”是求數列通項的常用技巧；(3)問運用了函數的思想.

解：(1)設y=,∵x<－2,∴x=－,

即y=f^－-1(x)=－ (x>0)

(2)∵，

∴{}是公差為4的等差數列，

∵a₁=1, =+4(n－1)=4n－3,∵a_n>0,∴a_n=.

(3)b_n=S_n+1－S_n=a_n+1²=,由b_n<,得m>,

設g(n)= ,∵g(n)= 在n∈N^*上是減函數，

∴g(n)的最大值是g(1)=5,∴m>5,存在最小正整數m=6,使對任意n∈N^*有b_n<成立.

［例2］設等比數列{a_n}的各項均為正數，項數是偶數，它的所有項的和等于偶數項和的4倍，且第二項與第四項的積是第3項與第4項和的9倍，問數列{lga_n}的前多少項和最大？(lg2=0.3,lg3=0.4)

命題意圖：本題主要考查等比數列的基本性質與對數運算法則，等差數列與等比數列之間的聯系以及運算、分析能力.屬★★★★★級題目.

知識依托：本題須利用等比數列通項公式、前n項和公式合理轉化條件，求出a_n;進而利用對數的運算性質明確數列{lga_n}為等差數列，分析該數列項的分布規律從而得解.

錯解分析：題設條件中既有和的關系，又有項的關系，條件的正確轉化是關鍵，計算易出錯；而對數的運算性質也是易混淆的地方.

技巧與方法：突破本題的關鍵在于明確等比數列各項的對數構成等差數列，而等差數列中前n項和有最大值，一定是該數列中前面是正數，后面是負數，當然各正數之和最大；另外，等差數列S_n是n的二次函數，也可由函數解析式求最值.

解法一：設公比為q,項數為2m,m∈N^*,依題意有

化簡得.

設數列{lga_n}前n項和為S_n,則

S_n=lga₁+lga₁q²+…+lga₁q^n－1=lga₁ⁿ?q^{1+2+…+(n－1)}

=nlga₁+n(n－1)?lgq=n(2lg2+lg3)－n(n－1)lg3

=(－)?n²+(2lg2+lg3)?n

可見，當n=時，S_n最大.

而=5,故{lga_n}的前5項和最大.

解法二：接前，,于是lga_n=lg［108()^n－1］=lg108+(n－1)lg,

∴數列{lga_n}是以lg108為首項，以lg為公差的等差數列，令lga_n≥0,得2lg2－(n－4)lg3≥0,∴n≤=5.5.

由于n∈N^*,可見數列{lga_n}的前5項和最大.

●錦囊妙計

1.等差、等比數列的性質是兩種數列基本規律的深刻體現，是解決等差、等比數列問題的既快捷又方便的工具，應有意識去應用.

2.在應用性質時要注意性質的前提條件，有時需要進行適當變形.

3.“巧用性質、減少運算量”在等差、等比數列的計算中非常重要，但用“基本量法”并樹立“目標意識”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地運用條件，又要時刻注意題的目標，往往能取得與“巧用性質”解題相同的效果.

●殲滅難點訓練

試題詳情

2009年高考數學難點突破專題輔導十一

難點11  函數中的綜合問題

函數綜合問題是歷年高考的熱點和重點內容之一，一般難度較大，考查內容和形式靈活多樣.本節課主要幫助考生在掌握有關函數知識的基礎上進一步深化綜合運用知識的能力，掌握基本解題技巧和方法，并培養考生的思維和創新能力.

●難點磁場

(★★★★★)設函數f(x)的定義域為R，對任意實數x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),當x>0時f(x)<0且f(3)=－4.

(1)求證：f(x)為奇函數；

(2)在區間［－9，9］上，求f(x)的最值.

●案例探究

［例1］設f(x)是定義在R上的偶函數，其圖象關于直線x=1對稱，對任意x₁、x₂∈［0,］,都有f(x₁+x₂)=f(x₁)?f(x₂),且f(1)=a>0.

(1)求f()、f();

(2)證明f(x)是周期函數；

(3)記a_n=f(n+),求

命題意圖：本題主要考查函數概念，圖象函數的奇偶性和周期性以及數列極限等知識，還考查運算能力和邏輯思維能力.

知識依托：認真分析處理好各知識的相互聯系，抓住條件f(x₁+x₂)=f(x₁)?f(x₂)找到問題的突破口.

錯解分析：不會利用f(x₁+x₂)=f(x₁)?f(x₂)進行合理變形.

技巧與方法：由f(x₁+x₂)=f(x₁)?f(x₂)變形為是解決問題的關鍵.

(1)    解：因為對x₁,x₂∈［0,］,都有f(x₁+x₂)=f(x₁)?f(x₂),所以f(x)=≥0,

x∈［0,1］

又因為f(1)=f(+)=f()?f()=［f()］²

f()=f(+)=f()?f()=［f（）］²

又f(1)=a>0

∴f()=a,f()=a

(2)證明：依題意設y=f(x)關于直線x=1對稱，故f(x)=f(1+1－x),即f(x)=f(2－x),x∈R.

又由f(x)是偶函數知f(－x)=f(x),x∈R

∴f(－x)=f(2－x),x∈R.

將上式中－x以x代換得f(x)=f(x+2)，這表明f(x)是R上的周期函數，且2是它的一個

周期.

(3)解：由(1)知f(x)≥0,x∈［0,1］

∵f()=f(n?)=f(+(n－1) )=f()?f((n－1)?)

=……

=f()?f()?……?f()

=［f()］ⁿ=a

∴f()=a.

又∵f(x)的一個周期是2

∴f(2n+)=f(),因此a_n=a

∴

［例2］甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速駛到乙地，速度不得超過c千米/小時，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v(km/h)的平方成正比，比例系數為b,固定部分為a元.

(1)把全程運輸成本y(元)表示為v(km/h)的函數，并指出這個函數的定義域；

(2)為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？

命題意圖：本題考查建立函數的模型、不等式性質、最值等知識，還考查學生綜合運用所學數學知識解決實際問題的能力.

知識依托：運用建模、函數、數形結合、分類討論等思想方法.

錯解分析：不會將實際問題抽象轉化為具體的函數問題，易忽略對參變量的限制條件.

技巧與方法：四步法：(1)讀題；(2)建模；(3)求解；(4)評價.

解法一：(1)依題意知，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為,全程運輸成本為y=a?+bv²?=S(+bv)

∴所求函數及其定義域為y=S(+bv),v∈(0,c.

(2)依題意知，S、a、b、v均為正數

∴S(+bv)≥2S                      ①

當且僅當=bv,即v=時，①式中等號成立.若≤c則當v=時，有y_min；

若>c,則當v∈(0,c時，有S(+bv)－S(+bc)

=S［(－)+(bv－bc)］= (c－v)(a－bcv)

∵c－v≥0,且c>bc²,∴a－bcv≥a－bc²>0

∴S(+bv)≥S(+bc),當且僅當v=c時等號成立，也即當v=c時，有y_min；

綜上可知，為使全程運輸成本y最小，當≤c時，行駛速度應為v=,當>c時行駛速度應為v=c.

解法二：(1)同解法一.

(2)∵函數y=x+ (k>0),x∈(0,+∞),當x∈(0,)時，y單調減小，當x∈(,+∞)時y單調增加，當x=時y取得最小值，而全程運輸成本函數為y=Sb(v+),v∈(0,c.

∴當≤c時，則當v=時，y最小，若>c時，則當v=c時，y最小.結論同上.

●錦囊妙計

在解決函數綜合問題時，要認真分析、處理好各種關系，把握問題的主線，運用相關的知識和方法逐步化歸為基本問題來解決，尤其是注意等價轉化、分類討論、數形結合等思想的綜合運用.綜合問題的求解往往需要應用多種知識和技能.因此，必須全面掌握有關的函數知識，并且嚴謹審題，弄清題目的已知條件，尤其要挖掘題目中的隱含條件.

●殲滅難點訓練

試題詳情

2009年高考數學難點突破專題輔導九

難點9  指數函數、對數函數問題

指數函數、對數函數是高考考查的重點內容之一，本節主要幫助考生掌握兩種函數的概念、圖象和性質并會用它們去解決某些簡單的實際問題.

●難點磁場

(★★★★★)設f(x)=log₂,F(x)=+f(x).

(1)試判斷函數f(x)的單調性，并用函數單調性定義，給出證明；

(2)若f(x)的反函數為f^－1(x),證明：對任意的自然數n(n≥3),都有f^－1(n)>;

(3)若F(x)的反函數F^－1(x),證明：方程F^－1(x)=0有惟一解.

●案例探究

［例1］已知過原點O的一條直線與函數y=log₈x的圖象交于A、B兩點，分別過點A、B作y軸的平行線與函數y=log₂x的圖象交于C、D兩點.

(1)證明：點C、D和原點O在同一條直線上；

(2)當BC平行于x軸時，求點A的坐標.

命題意圖：本題主要考查對數函數圖象、對數換底公式、對數方程、指數方程等基礎知識，考查學生的分析能力和運算能力.屬★★★★級題目.

知識依托：(1)證明三點共線的方法：k_OC=k_OD.

(2)第(2)問的解答中蘊涵著方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A點坐標.

錯解分析：不易考慮運用方程思想去解決實際問題.

技巧與方法：本題第一問運用斜率相等去證明三點共線；第二問運用方程思想去求得點A的坐標.

(1)證明：設點A、B的橫坐標分別為x₁、x₂,由題意知：x₁>1,x₂>1,則A、B縱坐標分別為log₈x₁,log₈x₂.因為A、B在過點O的直線上，所以,點C、D坐標分別為(x₁,log₂x₁),(x₂,log₂x₂),由于log₂x₁==3log₈x₂,所以OC的斜率：k₁=,

OD的斜率：k₂=，由此可知：k₁=k₂,即O、C、D在同一條直線上.

(2)解：由BC平行于x軸知：log₂x₁=log₈x₂  即：log₂x₁=log₂x₂,代入x₂log₈x₁=x₁log₈x₂得：x₁³log₈x₁=3x₁log₈x₁,由于x₁>1知log₈x₁≠0,∴x₁³=3x₁.又x₁>1,∴x₁=,則點A的坐標為(，log₈).

［例2］在xOy平面上有一點列P₁(a₁,b₁),P₂(a₂,b₂),…,P_n(a_n,b_n)…,對每個自然數n點P_n位于函數y=2000()^x(0<a<1)的圖象上，且點P_n,點(n,0)與點(n+1,0)構成一個以P_n為頂點的等腰三角形.

(1)求點P_n的縱坐標b_n的表達式；

(2)若對于每個自然數n,以b_n,b_n+1,b_n+2為邊長能構成一個三角形，求a的取值范圍；

(3)設C_n=lg(b_n)(n∈N^*),若a取(2)中確定的范圍內的最小整數，問數列{C_n}前多少項的和最大？試說明理由.

命題意圖：本題把平面點列，指數函數，對數、最值等知識點揉合在一起，構成一個思維難度較大的綜合題目，本題主要考查考生對綜合知識分析和運用的能力.屬★★★★★級

題目.

知識依托：指數函數、對數函數及數列、最值等知識.

錯解分析：考生對綜合知識不易駕馭，思維難度較大，找不到解題的突破口.

技巧與方法：本題屬于知識綜合題，關鍵在于讀題過程中對條件的思考與認識，并會運用相關的知識點去解決問題.

解：(1)由題意知：a_n=n+,∴b_n=2000().

(2)∵函數y=2000()^x(0<a<10)遞減，∴對每個自然數n,有b_n>b_n+1>b_n+2.則以b_n,b_n+1,b_n+2為邊長能構成一個三角形的充要條件是b_n+2+b_n+1>b_n,即()²+()－1>0,解得a<－5(1+)或a>5(－1).∴5(－1)<a<10.

(3)∵5(－1)<a<10,∴a=7

∴b_n=2000().數列{b_n}是一個遞減的正數數列，對每個自然數n≥2,B_n=b_nB_n－1.于是當b_n≥1時，B_n<B_n－1,當b_n<1時，B_n≤B_n－1,因此數列{B_n}的最大項的項數n滿足不等式b_n≥1且b_n+1<1,由b_n=2000()≥1得：n≤20.8.∴n=20.

●錦囊妙計

本難點所涉及的問題以及解決的方法有：

(1)運用兩種函數的圖象和性質去解決基本問題.此類題目要求考生熟練掌握函數的圖象和性質并能靈活應用.

(2)綜合性題目.此類題目要求考生具有較強的分析能力和邏輯思維能力.

(3)應用題目.此類題目要求考生具有較強的建模能力.

●殲滅難點訓練

試題詳情