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1. 設(shè)A是集合S={1, 2, 3, ..., 1000000}的一個101元子集，求證： 存在S中的100個元素T₁ ,T₂ ,...,T₁₀₀ 使得集合

A_j={X+T_j | X 屬于 A} （j=1,2,...,100）

是兩兩不交的。

2. 求所有的正整數(shù)對(a,b)，使得 a²/(2ab²-b³+1)也為整數(shù)。

3. 一凸六邊形，任意一組對邊中點(diǎn)的連線是這組對邊長度之和的√3/2 倍，求證這個六邊行的
每個內(nèi)角都是120^o。

4. 圓內(nèi)接四邊形ABCD，從D向分別邊BC,CA,AB引垂線，垂足分別為P，Q，R。求證：
PQ=QR當(dāng)且僅當(dāng)∠ABC、∠ADC的角平分線及AC三線共點(diǎn)。

5. 設(shè)n是一個正整數(shù)，x₁,x₂,...,x_n是實(shí)數(shù)并且x₁ ≤ x₂ ≤ ... ≤ x_n,求證：

6. 設(shè)p是一個素?cái)?shù)，求證存在一個素?cái)?shù)q使得對每個整數(shù)n，n^p-p不能被q整除。

試題詳情

1. 設(shè)n是給定的正整數(shù)，T是一個集合，其元素是平面上滿足x,y是非負(fù)整數(shù)且x+y<n的點(diǎn)(x,y)。T中的點(diǎn)均被染上紅色或藍(lán)色，滿足：如果(x,y)是紅色，則所有滿足x'≤x且y'≤y的點(diǎn)(x',y')也都染成紅色。如果n個藍(lán)點(diǎn)的橫坐標(biāo)各不相同，則稱由這n個藍(lán)點(diǎn)組成的集合為一個X-集；如果n個藍(lán)點(diǎn)的縱坐標(biāo)各不相同，則稱這n個藍(lán)點(diǎn)所組成的集合為Y-集。

求證：X-集的個數(shù)和Y-集的個數(shù)相同。

2. BC為圓O的直徑，A為⊙O上的一點(diǎn)，0^o<∠AOB <120^o, D是弧AB（不含C的弧）的中點(diǎn)，過O平行于DA的直線交AC 于I，OA的垂直平分線交⊙O于E、F，

求證：I是△CEF的內(nèi)心。

3. 找出所有的正整數(shù)對m,n≥3，是的存在無窮多個正整數(shù)a，使(a^m +a-1)/(aⁿ +a²-1)為整數(shù)。

4. 設(shè)n為大于1的整數(shù)，全部正因數(shù)為d₁,d₂,...,d_k， 其中1=d₁ < d₂ < ... < d_k=n，

記D=d₁d₂+d₂d₃+...+d_k-1d_k。

5. 找出所有從實(shí)數(shù)集R到R的函數(shù)f，使得對所有x,y,z∈R，有

(f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)。

6. 設(shè)Γ₁，Γ₂，...,Γ_n是平面上半徑為1的圓，其中n≥3，記他們的圓心分別為O₁,O₂,...,O_n。假設(shè)任意一條直線都至多和兩個圓相交或相切，

求證：

∑_i<j 1/O_iO_j ≤ (n-1)π/4 。

試題詳情

1. △ABC是銳角三角形，其外接圓的圓心是O。X是從A到BC邊上垂線的垂足。
已知∠C≥∠B+30^o，

求證：∠A+∠COX<90^o。

2. a,b,c是正實(shí)數(shù)，設(shè)a' = √(a² + 8bc), b' = √(b² + 8ca), c' = √(c² + 8ab)，

求證： a/a' + b/b' + c/c' ≥ 1。

3. 由整數(shù)組成的一個21×21的矩陣，其每行每列都至多有6個不同的整數(shù)。

求證，存在某個整數(shù)出現(xiàn)在至少3行和3列中。

4. 設(shè)n₁,n₂,...,n_m是整數(shù)，其中m是奇數(shù)。x=(x₁,x₂,...,x_m)是1,2,...,m的一個排列，

f(x)=x₁n₁+x₂n₂+...+x_mn_m， 

求證，存在兩個不同的排列a,b使得f(a)-f(b)能被m!整除。

5. △ABC，X在BC上且AX是∠A的角平分線，BY是∠B的角平分線，Y在CA上。已知∠A=60^o， AB+BX=AY+YB，試求出所有∠B可能的值。

6. K>L>M>N是正整數(shù)且KM+LN=(K+L-M+N)(-K+L+M+N)。

求證KL+MN是合數(shù)。

試題詳情

1. 圓Γ₁和圓Γ₂相交于點(diǎn)M和N。設(shè)l是圓Γ₁和圓Γ₂的兩條公切線中距離M較近的那條公切線。l與圓Γ₁相切于點(diǎn)A，與圓Γ₂相切于點(diǎn)B。設(shè)經(jīng)過點(diǎn)M且與l平行的直線與圓Γ₁還相交于點(diǎn)C，與圓Γ₂還相交于點(diǎn)D。直線CA和DB相交于點(diǎn)E；直線AN和CD相交于點(diǎn)P；直線BN和CD相交于點(diǎn)Q。

求證：EP=EQ。

2. 設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù)，且滿足abc=1。求證：

(a- 1 + 1/b)(b - 1 + 1/c)(c - 1 + 1/a) ≤ 1。

3. 設(shè)n≥2為正整數(shù)。開始時，在一條直線上有n只跳蚤，且它們不全在同一點(diǎn)。
對任意給定的一個正實(shí)數(shù)λ，可以定義如下的一種“移動”：

試確定所有可能的正實(shí)數(shù)λ， 使得對于直線上任意給定的點(diǎn)M以及這n只跳蚤的任意初始位置，總能夠經(jīng)過有限多個移動之后令所有的跳蚤都位于M的右邊。

4. 一位魔術(shù)師有一百張卡片，分別寫有數(shù)字1到100. 他把這一百張卡片放入三個盒子里，一個盒子是紅色的，一個是白色的，一個是藍(lán)色的。 每個盒子里至少都放入了一張卡片。 一位觀眾從三個盒子中挑出兩個，再從這兩個盒子里各選取一張卡片， 然后宣布這兩張卡片上的數(shù)字之和。知道這個和之后，魔術(shù)師便能夠指出哪一個是沒有從中選取卡片的盒子。 

問共有多少種放卡片的方法，使得魔術(shù)總能夠成功？（兩種方法被認(rèn)為是不同的，如果至少有一張卡片被放入不同顏色的盒子）

5. 確定是否存在滿足下列條件的正整數(shù)n：n恰好能夠被2000個互不相同的質(zhì)數(shù)整除，且2n+1能夠被n整除。

6. 設(shè)AH₁,BH₂,CH₃是銳角三角形ABC的三條高線。 三角形ABC的內(nèi)切圓與邊BC, CA, AB分別相切于點(diǎn)T₁, T₂, T₃，設(shè)直線l₁,l₂,l₃分別是直線H₂H₃, H₃H₁, H₁H₂關(guān)于直線T₂T₃, T₃ T₁, T₁T₂的對稱直線。
求證：l₁,l₂,l₃所確定的三角形，其頂點(diǎn)都在三角形ABC的內(nèi)切圓上。

試題詳情

1. 試找出所有這樣的有限集S：S至少包括平面上的3個點(diǎn)；對任何兩個S中不同的點(diǎn)A,B，
AB的垂直平分線是S的一個對稱軸。

2. 設(shè)n ≥ 2是一個給定的整數(shù)，是找出最小的常量C使得對于所有非負(fù)實(shí)數(shù)x₁, ... , x_n如下不等式成立：

∑_i<j x_i x_j (x_i² + x_j²) ≤ C ( ∑ x_i )⁴。

并判斷何時等號成立。

3. 給定一個n×n的棋盤，n是偶數(shù)。如果這個棋盤中的兩個不同的小方格有一個公共邊就說他們是相鄰的，但同一個方格不認(rèn)為與它自身相鄰。試找出最小數(shù)目的方格，使得當(dāng)它們被標(biāo)記之后，棋盤上每一個方格都至少與一個標(biāo)記過的方格相鄰。

4. 試找出所有的正整數(shù)對(n,p)，使得p是素?cái)?shù)，n ≤ 2p并且(p-1)ⁿ+1可被n^p-1整除。

5. 圓Γ有兩個內(nèi)切圓Γ₁ ,Γ₂，切點(diǎn)分別是M,N，Γ₁經(jīng)過Γ₂的圓心。
Γ₁,Γ₂的公共弦的延長線交Γ于A,B兩點(diǎn)。線MA,MB分別交Γ₁分別于E,F。
求證：EF于Γ₂相切。

6. 試找出所有的函數(shù)f:R → R使得f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1對所有x,y ∈ R都成立。

其中R表示實(shí)數(shù)集。

試題詳情

1.  設(shè)a、b是常數(shù)，解方程組

x + y + z = a;     x² + y² + z² = b²;     xy=z²

并求出若使x、y、z是互不相同的正數(shù)，a、b應(yīng)滿足什么條件？

2.  設(shè)a、b、c是某三角形的邊，A 是其面積，求證：

a² + b² + c² >= 4√3 A.

并求出等號何時成立。　

3.  解方程 cosⁿx - sinⁿx = 1, 其中n是一個自然數(shù)。

4.  P是三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求證AP/PD, BP/PE, CP/PF 中至少有一個不大于2，也至少有一個不小于2。

5.  作三角形ABC使得 AC=b, AB=c，銳角AMB = a,其中M是線斷BC的中點(diǎn)。求證這個三角形存在的充要條件是

b tan(a/2) <= c < b.

又問上式何時等號成立。

6. 三個不共線的點(diǎn)A、B、C，平面p不平行于ABC，并且A、B、C在p的同一側(cè)。在p上任意取三個點(diǎn)A', B', C'， A'', B'', C''設(shè)分別是邊AA', BB', CC'的中點(diǎn)，O是三角形A''B''C''的重心。問，當(dāng)A',B',C'變化時，O的軌跡是什么？

試題詳情

1. 凸四邊形ABCD，對交線AC,BD互相垂直，對邊AB,DC不平行，AB和DC的垂直平分線相交于
P點(diǎn)，P在ABCD的內(nèi)部。

求證ABCD是圓內(nèi)接四邊形當(dāng)且僅當(dāng)三角形ABP、CDP的面積相等。

2. 在一次競賽中有a個參賽者和b個裁判，b≥3是一個奇數(shù)。每個裁判可以給參賽者判“合格”或者
“不合格”，假設(shè)任何兩個裁判對至多k個參賽者的判決相同，
求證：k/a  ≥  (b-1)/2b.

3. 對任何正整數(shù)n，用d(n)表示n的正因數(shù)（包括1,n）的個數(shù)。
試求出所有正整數(shù)k使存在n滿足 d(n²)=kd(n).

4. 試找出所有的正整數(shù)對(a,b)使得ab²+b+7能整除a²b+a+b。

5. 設(shè)I是三角形 ABC的內(nèi)心，三角形 ABC的內(nèi)切圓在邊BC,CA,AB上的切點(diǎn)分別是K,L,M。
通過B點(diǎn)平行于MK的直線交LM,LK分別于R,S。

求證：三角形 RIS是銳交三角形。

6. 考慮所有從正整數(shù)到正整數(shù)的函數(shù)f使之對于所有的s、t滿足f(t²f(s))=sf(t)²。
試求出f(1998)的最小的可能值。

試題詳情

1. 在坐標(biāo)平面上，具有整數(shù)坐標(biāo)的點(diǎn)構(gòu)成單位邊長的正方格的頂點(diǎn)。這些正方格被涂上黑白相間的兩種顏色（像棋盤一樣）。對于任意一對正整數(shù)m和n，考慮一個直角三角形其頂點(diǎn)具有整數(shù)坐標(biāo)，兩腰長分別為m和n，且其兩腰都在這些正方格的邊上。 設(shè)S₁為這個三角形區(qū)域中所有黑色部分的總面積，S₂則為所有白色部分的總面積。 令f(m,n)=|S₁-S₂|，

2. 設(shè)∠A是△ABC中最小的?角。B和C將此三角形的外接圓分成兩個弧。U為落在不含A點(diǎn)的弧上且異于B,C的一點(diǎn)。線段AB,AC的垂直平分線分別交AU于V,W。
直線BV, CW相交于T，

求證：AU＝TB＋TC。

3. x₁,x₂,...,x_n是正實(shí)數(shù)滿足|x₁+x₂+...x_n|=1 且對所有i有|x_i|≤(n+1)/2。

試證明存在x₁,x₂,...,x_n的一個 排列y₁,y₂,...,y_n滿足

|y₁+2y₂+...+ny_n|≤(n+1)/2。 

4. 一個n×n的矩陣稱為一個n階“銀矩陣”，如果它的元素取自集合S={1,2,...,2n-1}且對于每一個i=1,2，...,n，它的第i列與第i行中的所有元素合起來恰好是S中的所有元素。求證：

5. 試找出所有的正整數(shù)對(a,b)滿足

a

b²

=

b

a

6. 對每個正整數(shù)n，將n表示成2的非負(fù)整數(shù)次方之和，令f(n)為正整數(shù)n的上述不同表示法的個數(shù)。如果倆個表示法的差別僅在于他們中各個數(shù)相加的次序不同，這兩個表示法就被視為是相同的。例如，f(4)=4，因?yàn)?恰有下列四種不同的表示法：4; 2+2; 2+1+1;1+1+1+1。

求證：對于任意整數(shù)n≥3，  

2

n²/4

< f(2ⁿ)<

2

n²/2

試題詳情

1. ABCD是一個長寬分別是AB=20,BC=12的長方形板。將此長方形板分割為20×12個格子狀的單位小方格，r為一給定的正整數(shù)，一個銅幣在此板上每移動一次的規(guī)則為：銅幣可從一個小方格內(nèi)移動到另一個小方格內(nèi)的充分必要條件是這兩個小方格的中點(diǎn)間的距離為√r。現(xiàn)目標(biāo)是把一個在含頂點(diǎn)A的小方格內(nèi)的銅幣經(jīng)過若干次移動后到達(dá)含頂點(diǎn)B的小方格內(nèi)。

2. P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)且∠APB-∠ACB=∠APC-∠ABC，設(shè)D,E分別是∠APB,∠APC的內(nèi)心，

求證：AP,BD,CE三線共點(diǎn)。

3. S={0,1,2,3,...}為所有非負(fù)整數(shù)所成的集合，試找出所有由S對應(yīng)到S本身的函數(shù)f且對m,n∈S 有f(m+f(n))=f(f(m))+f(n)。

4. 正整數(shù)a,b使得15a+16b和16a-15b都是完全平方數(shù)，試求出最小的可表示成這兩個完全平方數(shù)之一的可能值。

5. ABCDEF是凸六邊形，AB平行于ED，BC平行于FE，CD平行于AF。 令R_A,R_C,R_E分別表示△FAB,△BCD,△DEF的外接圓的半徑，并以p表示該六邊形的周長。

求證：R_A+R_C+R_E≥p/2。

6. n,p,q都是正整數(shù)且n>p+q，令x₀,x₁,x_n都是整數(shù)，x₀=x_n=0且對每個1≤i≤n，x_i-x_i-1=p或q。 

求證存在下標(biāo)i<j且(i,j)≠(0,n)滿足x_i=x_j。

試題詳情

1. A,B,C,D是一條直線上順序排列的四個不同點(diǎn)，分別以AC,BD為直徑的兩個圓相交于X,Y，直線XY交BC于Z， 設(shè)P為直線XY上異于Z的一點(diǎn)，直線CP與以AC為直徑的圓相交于C,M； 直線BP與以BD為直徑的圓相交于B,N。求證：AM,DN,XY三線共點(diǎn)。

2. a,b,c為正實(shí)數(shù)且abc=1，試證：

1

+

1

+

1

≥

3

a³(b+c)

b³(c+a)

c³(a+b)

2

3. 試確定所有整數(shù)n>3，使得在平面上存在n個點(diǎn)A₁,A₂， ...,A_n（無三點(diǎn)共線）及n個實(shí)數(shù)r₁,r₂,...,r_n滿足 △A_iA_jA_k的面積是r_i+r_j+r_k， 其中是對每個三元組1≤i<j<k≤n。

4. 正實(shí)數(shù)序列x₀,x₁,...,x₁₉₉₅滿足條件 x₀=x₁₉₉₅且對于i=1,2,...,1995有x_i-1+2/x_i-1=2x_i +1/x_i.
試求出所有滿足上述條件的數(shù)列中x₀的最大值。

5. 設(shè)ABCDEF是凸六邊形，滿足AB=BC=CD, DE=EF=FA，∠BCD=∠EFA=60^o。 設(shè)G,H是這六邊形內(nèi)部兩點(diǎn)使得∠AGB=∠DHE=120^o，

求證 AG+GB+GH+DH+HE≥CF。

6. p是一個奇質(zhì)數(shù)，試求出集合{1,2,...,2p}的所有p元子集A的個數(shù)滿足A中元素之和能被p整除。

試題詳情