西安中學
師大附中
高2009屆第一次模擬考試
高新一中
長安一中
數 學 理 科
命題人：師大附中 孫永濤
審題人：高新一中 王勝利
一、選擇題（每小題5分，滿分60分）
1．復數
等于
A.
B.
C.
D.
2.滿足條件
的所有集合
的個數是
A.1 B
3.函數
的反函數為
A.
B.
C.
D.
4.若
則下列結論正確的是
A.
B.
C.
D.
5.函數
的部分圖象如圖，則
A.
； B. 
；
C. 
； D. 
。
6．過正三棱錐的側棱與底面中心作截面，如果截面是等腰三角形，則側面與底面所成角的余弦值是
A.
B.
C.
D.或
7.過點
且與雙曲線
只有一個交點的直線有
A.1條 B.2條 C.3條 D.4條
8.點
在
內，滿足
，那么
與
的面積之比是
A.
B.
? C.
D.
9.從單詞“education”中選取5個不同的字母排成一排，則含“at”（“at”相連且順序不變）的概率為
A.
B.
C.
D.
10.設二項式
的展開式的各項系數和為
，所有二項式系數的和是
，若
，則
A.6 B
11.已知函數
滿足對任意
,都有
成立，
則
的取值范圍是
A.
B.
C.
D.
12.集合
中的元素都是整數，并且滿足條件：①中有正數，也有負數；②中有奇數，也有偶數；③
；④若
，則
。下面判斷正確的是
A.
B.
C.
D.
二、填空題（每小題4分，滿分16分）
13.方程
表示的曲線所圍成區域的面積是 ；
14 .對2×2數表定義平方運算如下：
． 則
；
15.如圖，從點
發出的光線沿平行于拋物線
對稱軸的方向射向此拋物線上的點，反射后經焦點
又射向拋物線上的點
，再反射后沿平行于拋物線的對稱軸的方向射向直線
上的點
，再反射后又射回點，則
=
.
16.若數列
是等差數列，則數列
也為等差數列，類比上述性質，若數列
是等比數列，且
，則有
________也是等比數列．
17．（本小題滿分12分）
三、解答題
已知向量
，其中
，記函數
，已知
的最小正周期為
.
（Ⅰ） 求
；
（Ⅱ）當
時，試求的值域．
18．（本小題滿分12分）
袋中裝著標有數字1，2，3的小球各兩個，從袋中任取兩個小球，每個小球被取出的可能性都相等．
（Ⅰ）求取出的兩個小球上的數字互不相同的概率；
（Ⅱ）用
表示取出的兩個小球上的數字之和，求隨機變量的分布列與數學期望．
19．（本小題滿分12分）
如右圖，將一副三角板拼接，使它們有公共邊
，且使兩個三角板所在平面互相垂直，若
，
，
，
．
（Ⅰ）求證：平面
平面
．
（Ⅱ）求二面角
的平面角的余弦值．
（Ⅲ）求
到平面的距離．
20
（本小題滿分12分）
已知橢圓
的兩個焦點分別是
，是橢圓在第一象限的點，且滿足
，過點作傾斜角互補的兩條直
，分別交橢圓于
兩點．
（Ⅰ）求點的坐標；
（Ⅱ）求直線
的斜率；
21．（本小題滿分12分）
已知函數
，
（Ⅰ）若
，試確定函數
的單調區間；
（Ⅱ）若
，對于任意的
，
恒成立，求
的取值范圍；
22．（本小題滿分14分）
設對于任意的實數
，函數，
滿足
，且
，
，
（Ⅰ）求數列
和
的通項公式；
（Ⅱ）設
，求數列的前
項和
（Ⅲ）已知
，設
，是否存在整數
和。使得對任意正整數，不等式
恒成立？若存在，分別求出和的集合，并求出
的最小值；若不存在，請說明理由.
西安中學
師大附中
高2009屆第一次模擬考試
高新一中
長安一中
數學理科答案
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
D
B
A
C
D
D
B
A
C
A
C
二、填空題（每小題4分，滿分16分）
13．24； 14．
； 15．6； 17．
17（本小題滿分12分）
三、解答題（滿分74分）
解：(Ⅰ) 
=
=
.
∵
，∴ 
， ∴
=1；
(Ⅱ) 由(1)，得
，
∵ 
，
∴ 
.
∴
的值域
．
18（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）記“取出的2個小球上的數字互不相同”為事件
，
從袋中的6個小球中任取2個小球的方法共有
種，其中取出的2個小球上的數字互不相同的方法有
種，∴ 
；
（Ⅱ）由題意，
所有可能的取值為：2，3，4，5，6．
，
， 
，
．
隨機變量的概率分布列為
2
3
4
5
6
的數學期望
．
19．（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由于平面
平面
，且
，那么
平面
，而
平面，則
………①，又
………②,
………③，所以
平面
，又因為平面
,所以平面
平面；
（Ⅱ）取
中點
，作
于
，連
，則
平面，
為二面角
的平面角。
中，
，則
，
，
，
，
中，
∴二面角的正切值為2；
（Ⅲ）作
于
，則
平面
中，
，
，
，
即
到平面的距離為
。
20．（本小題滿分12分）
解：Ⅰ由于
，
，設
，由
得
，
那么
，與
聯立得
Ⅱ設
，那么
，其中
，將直線
的方程
代入橢圓得
，
由于
，而
，那么
將直線
的方程
代入橢圓得
，
由于
，而，那么
那么
，那么
21．（本小題滿分12分）
解：Ⅰ當
時，設
，
，則
當
時，
，則函數
是單調增函數；
當
時，
，則函數是單調減函數；
Ⅱ設
，由于函數
是偶函數，那么要使
，只需要
在
時成立即可；
當時，
，若
，那么
，函數單調遞增，
，所以………①
當時，令
，則
（
）
，列表
-
0
+
減函數
最小值
增函數
則
，解
，則
，結合*式得
………②
綜上所述，當
時，恒成立。
．
22．（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）取
，得
，取
，
故數列
是首項是1，公比為
的等比數列，所以
取，
，得
，即
，故數列
是公差為
的等差數列，又
，所以
（Ⅱ）
，兩式相減得
所以
（Ⅲ）
，
所以
是增函數，那么
由于
，則
，由于
，則
，所以
因此當
且
時，
恒成立，所以存在正數
，使得對任意的正整數
，不等式恒成立.此時，
的集合是
，
的集合是
，
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com