2009年云南省曲靖一中高考沖刺卷文科數學（一）
本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘。
第I卷（選擇題，共60分）
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
總分
分數
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．設集合
則
（
等于
A．
B．
C．{0}
D．
2．若
是第二象限的角，則
A．7
B．
D．
3．若
，則
A．
B．
C．
D．
4．過點（-1，1）和（0，3）的直線在
軸上的截距為
A．
B．
C．3
D．-3
5．二面角
為60°，A、B是棱
上的兩點，
分別在平面
內，
則
的長為
A．2
B．
C．
D．
6．如果
那么，
等于
A．2
B．
7．設數列
是公差不為零的等差數列，它的前
項和為
，且
成等比數列，則
等于
A．2
B．
8．已知點
和圓
上一動點
，動點
滿足
，則點的軌跡方程是
A．
B．
C．
D．
9．長方體
的所有頂點在同一個球面上，且
，則頂點
間的球而距離是
A ．
B．
C．
D．
10．若
，則
與
的大小關系是
A．
B．
C．
D．與的取值有關
11．某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動物性食品類及果蔬類分別有40種、10種、30種、20種，現從中抽取一個容量為20的樣本進行食品安全檢測，若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品數之和是
A．4 B．
12．已知二次函數
的導函數為
，對任意實數，都有
則
的最小值為
A．2
B．
C．3
D．
第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上。
13．已知實數
滿足
，如果目標函數
的最小值為-1，則實數
=____。
14．已知
的面積為
，
，且
，則
_______。
15．已知雙曲線
的左、右焦點分別為
，過右焦點
的直線交雙曲線的右支于
兩點若
，則
的周長為_____________。
16．設函數
的圖象為
，有下列四個命題：
①圖象關于直線
對稱：②圖象的一個對稱中心是
；③函數
在區間
上是增函數；④圖象可由
的圖象左平移
得到。其中真命題的序號是_______________。
三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（本小題滿分10分）已知函數
在區間
上單調遞增。
（1）求數
的取值范圍；
（2）設向量
當
時，求不等式
的解集。
18．（本小題滿分12分）如圖，四棱錐
中，側面
是邊長為2的正三角形，且于底面
垂直，底面是面積
的菱形，
為銳角，為
的中點。
（1）求證
；
（2）求二面角
的大小；
（3）求到平面
的距離
19．（本小題滿分12分）經統計，某大型商場一個結算窗口每天排隊結算的人數及相應的概率如下：
排隊人數
0～5
6～10
11～15
16～20
21～25
25以上
概率
0.1
0.15
0.25
0.25
0.2
0.05
求：（1）每天不超過20人排隊結算的概率是多少？
（2）一周7天中，若有3天以上（含3天）出現超過15人排隊結算的概率大于0.75，商場就需要增加結算窗口，請問該商場是否需要增加結算窗口？
20．（本小題滿分12分）在數列中，
。
（1）設
，證明：數列
是等差數列；
（2）求數列的前項和
21．（本小題滿分12分）設函數
，若曲線
的斜率最小的切線與直線
平行，求：
（1）的值
（2）函數的單調區間
22．（本小題滿分12分）如圖，已知
，是圓
（為圓心）上一動點，線段
的垂直平分線交
于
點，
（1）求點的軌跡的方程；
（2）若直線
與曲線相交于
，
兩點，求
面積的最大值。
2009年曲靖一中高考沖刺卷文科數學（一）
1．B 2．C 3．A 4．A 5．A 6．D 8．C 9．B 10．D 11．C 12．A
【解析】
1．依題意得
，所以
故
且
），因此選
2．依題意得
又
在第二象限，所以
，
，故選C。
3．
且
4．過（-1，1）和（0，3）的直線方程為
，令
，可得在
軸的截距為
，故選A
5．如圖。
故選A
6．設
則
故選D
7．設等差數列
的首項為
，公差
，因為
成等比數列，所以
，即
，解得
，故選D
8．由
，所以
分
之比為2，設
（
，
則
，又點
在圓
上，所以
，即
+
-4，化簡得
=16，故選C
9．長方體的中心即為球心，設球半徑為
，則
于是
兩點的球面距離為
故選B
10．畫出
和
在
內的圖象如圖
已知
，且兩函數在
上均為增函數，因此，兩曲線在內有一交點，故
與
的大小關系與的取值有關，故選D。
11．
。而樣本總容量為20。
所以植物油類食品應抽取樣本數為
，果蔬類食品應抽取樣本數為
，故，植物油類與果蔬類食品抽取的樣本數之和為2+4=6，故應選C。
12．
又因為對任意實數，都有
即
，
當且僅當
即
時，上述等號成立，即當
對，
有最小值2，故選A。
二、填空題
13．5．線性規劃問題先作出可行域，注意本題已知最優的待定參數的特點，可考慮特殊的交點，再驗證由題設可知
，應用運動變化的觀點驗證滿足
為所求。
14．7．由題意得
又
因此A是鈍角，
15．22，連接
，
的周章為
16．當
時，
，取到最小值，因次，
是對稱軸：②當
時，
因此
不是對稱中心；③由
可得
故
在
上不是增函數；④把函數
的圖象向左平移
得到
的圖象，得不到的圖象，故真命題序號是①。
三、解答題
17．（1）
在
上單調遞增，
在上恒成立，即
在上恒成立，
即實數的取值范圍
（2）
由題設條件知在
上單調遞增。
由
得
，即
即的解集為
又
的解集為
18．（1）過
作
子
連接
側面
。
故
是邊長為2的等邊三角形。又
點，
又
是
在底面
上的射影，
（法一）（2）
就是二面角
的平面角，
和
都是邊長為2的正三角形，
又
即二面角的大小為45°
（3）取的中點為
連接
又
為
的中點，
，又
，且
在平面
上，又
為的中點，
又
線段
的長就是到平面
的距離在等腰直角三角形
中，
，
，
，即到平面的距離是
（法二）（2）
，以
為軸、
軸、
軸建立空間直角坐標系，則點
設平面
的法向量為
，則
，解得
，
取
則
，平面的法向量
向量
所成角為45°故二面角的大小為45°，
（3）由
，
的中點
設平面的法向量為
，則
，解得
則
故到平面的距離為
19．（1）每天不超過20人排隊結算的概率為：
（2）每天超過15分排隊結算的概率為，
一周7天中，沒有出現超過15分排隊結算的概率為
一周7天中，有一天出現超過15人排隊結算的概率為
一周7天中，有兩天出現超過15人排隊結算的概率為
一周7天中，有3天以上（含3天）出現超過15人跑隊結算的概率為；
所以，該商場需要增加結算窗口。
20．（1）由已知
得
又
因此
是首項為1，公差為1的等差數列
（2）由（1）得
①式兩邊同乘以3，得
②
①式-③式得，
21．（1）
即當
時
取得最小值
因斜率最小的切線與
平行，即讀切線的斜率為-12，所以
，即
，由題設條件知
（2）由（1）知
，因此
令
，解得
當
時，
故在
上為增函數。當
時，
故
在
上為減函數。
當
時，
，故在
上為增函數。
由此可見，函數的單調遞增區間為（
）和，單調遞減區間為。
22．（1）連接
，由題意知：
圓
為圓
的半徑，
又
點
在
為焦點的橢圓上，即
點的軌跡方程為
（2）由
， 消去得1
由
得
設
則
，有
設點
到直線
的距離為
，則
當
，即
時，等號成立。
面積的最大值為3
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