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例1、            不等式 

錯誤解法 

錯誤分析  當時，真數且在所求的范圍內（因 ），說明解法錯誤。原因是沒有弄清對數定義。此題忽視了“對數的真數大于零”這一條件造成解法錯誤，表現出思維的不嚴密性。

正確解法  

例2、            求過點的直線，使它與拋物線僅有一個交點。

錯誤解法  設所求的過點的直線為，則它與拋物線的交點為

，消去得：

整理得  直線與拋物線僅有一個交點，

解得所求直線為

錯誤分析  此處解法共有三處錯誤：

第一，設所求直線為時，沒有考慮與斜率不存在的情形，實際上就是承認了該直線的斜率是存在的，且不為零，這是不嚴密的。

第二，題中要求直線與拋物線只有一個交點，它包含相交和相切兩種情況，而上述解法沒有考慮相切的情況，只考慮相交的情況。原因是對于直線與拋物線“相切”和“只有一個交點”的關系理解不透。

第三，將直線方程與拋物線方程聯立后得一個一元二次方程，要考慮它的判別式，所以它的二次項系數不能為零，即而上述解法沒作考慮，表現出思維不嚴密。

正確解法  當所求直線斜率不存在時，即直線垂直軸，因為過點，所以即軸，它正好與拋物線相切。

當所求直線斜率為零時，直線為平行軸，它正好與拋物線只有一個交點。

設所求的過點的直線為則

，    令解得所求直線為

綜上，滿足條件的直線為：

(2)      判斷的訓練

造成判斷錯誤的原因很多，我們在學習中，應重視如下幾個方面。

①注意定理、公式成立的條件

數學上的定理和公式都是在一定條件下成立的。如果忽視了成立的條件，解題中難免出現錯誤。

例3、            實數，使方程至少有一個實根。

錯誤解法  方程至少有一個實根，

或

錯誤分析  實數集合是復數集合的真子集，所以在實數范圍內成立的公式、定理，在復數范圍內不一定成立，必須經過嚴格推廣后方可使用。一元二次方程根的判別式是對實系數一元二次方程而言的，而此題目盲目地把它推廣到復系數一元二次方程中，造成解法錯誤。

正確解法  設是方程的實數根，則

由于都是實數，

解得 

例4  已知雙曲線的右準線為，右焦點,離心率,求雙曲線方程。

錯解1 

故所求的雙曲線方程為

錯解2  由焦點知

故所求的雙曲線方程為

錯解分析  這兩個解法都是誤認為雙曲線的中心在原點，而題中并沒有告訴中心在原點這個條件。由于判斷錯誤，而造成解法錯誤。隨意增加、遺漏題設條件，都會產生錯誤解法。

正解1  設為雙曲線上任意一點，因為雙曲線的右準線為，右焦點，離心率，由雙曲線的定義知

整理得                      

正解2  依題意，設雙曲線的中心為

則       解得 

所以 

故所求雙曲線方程為 

②注意充分條件、必要條件和充分必要條件在解題中的運用

我們知道：

如果成立，那么成立，即，則稱是的充分條件。

如果成立，那么成立，即，則稱是的必要條件。

如果，則稱是的充分必要條件。

充分條件和必要條件中我們的學習中經常遇到。像討論方程組的解，求滿足條件的點的軌跡等等。但充分條件和必要條件中解題中的作用不同，稍用疏忽，就會出錯。

例5  解不等式

錯誤解法  要使原不等式成立，只需

    解得

錯誤分析  不等式成立的充分必要條件是：或

原不等式的解法只考慮了一種情況，而忽視了另一種情況，所考慮的情況只是原不等式成立的充分條件，而不是充分必要條件，其錯誤解法的實質，是把充分條件當成了充分必要條件。

正確解法  要使原不等式成立，則

或

，或

原不等式的解集為

例6（軌跡問題）求與軸相切于右側，并與

⊙也相切的圓的圓心

的軌跡方程。

錯誤解法  如圖3－2－1所示，

已知⊙C的方程為

設點為所求軌跡上任意一點，并且⊙P與軸相切于M點，

與⊙C相切于N點。根據已知條件得

，即

化簡得     

錯誤分析  本題只考慮了所求軌跡的純粹性（即所求的軌跡上的點都滿足條件），而沒有考慮所求軌跡的完備性（即滿足條件的點都在所求的軌跡上）。事實上，符合題目條件的點的坐標并不都滿足所求的方程。從動圓與已知圓內切，可以發現以軸正半軸上任一點為圓心，此點到原點的距離為半徑（不等于3）的圓也符合條件，所以也是所求的方程。即動圓圓心的軌跡方程是

。因此，在求軌跡時，一定要完整的、細致地、周密地分析問題，這樣，才能保證所求軌跡的純粹性和完備性。

③防止以偏概全的錯誤

以偏概全是指思考不全面，遺漏特殊情況，致使解答不完全，不能給出問題的全部答案，從而表現出思維的不嚴密性。

例7  設等比數列的全項和為.若，求數列的公比.

錯誤解法 

錯誤分析  在錯解中，由

時，應有在等比數列中，是顯然的，但公比完全可能為1，因此，在解題時應先討論公比的情況，再在的情況下，對式子進行整理變形。

正確解法  若，則有

但，即得與題設矛盾，故.

又依題意 

可得        

即

因為，所以所以

所以     

說明  此題為1996年全國高考文史類數學試題第（21）題，不少考生的解法同錯誤解法，根據評分標準而痛失2分。

④避免直觀代替論證

我們知道直觀圖形常常為我們解題帶來方便。但是，如果完全以圖形的直觀聯系為依據來進行推理，這就會使思維出現不嚴密現象。

例8  （如圖3－2－2），具有公共軸的兩個直角坐標平面和所成的二面角等于.已知內的曲線的方程是，求曲線在內的射影的曲線方程。

錯誤解法  依題意，可知曲線是拋物線，

在內的焦點坐標是

因為二面角等于，

且所以

設焦點在內的射影是，那么，位于軸上，

從而

所以所以點是所求射影的焦點。依題意，射影是一條拋物線，開口向右，頂點在原點。

所以曲線在內的射影的曲線方程是

錯誤分析  上述解答錯誤的主要原因是，憑直觀誤認為

。

正確解法  在內，設點是曲線上任意一點

（如圖3－2－3）過點作，垂足為，

過作軸，垂足為連接，

則軸。所以是二面角

的平面角，依題意，.

在

又知軸（或與重合），

軸（或與重合），設，

則   

因為點在曲線上，所以

即所求射影的方程為  

(3)   推理的訓練

數學推理是由已知的數學命題得出新命題的基本思維形式，它是數學求解的核心。以已知的真實數學命題，即定義、公理、定理、性質等為依據，選擇恰當的解題方法，達到解題目標，得出結論的一系列推理過程。在推理過程中，必須注意所使用的命題之間的相互關系（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、推理嚴密。

例9  設橢圓的中心是坐標原點，長軸在軸上，離心率，已知點到這個橢圓上的最遠距離是，求這個橢圓的方程。

錯誤解法  依題意可設橢圓方程為

則    ，

所以    ，即 

設橢圓上的點到點的距離為，

則   

所以當時，有最大值，從而也有最大值。

所以    ，由此解得：

于是所求橢圓的方程為

錯解分析  盡管上面解法的最后結果是正確的，但這種解法卻是錯誤的。結果正確只是碰巧而已。由當時，有最大值，這步推理是錯誤的，沒有考慮到的取值范圍。事實上，由于點在橢圓上，所以有，因此在求的最大值時，應分類討論。即：

若，則當時，（從而）有最大值。

于是從而解得

所以必有，此時當時，（從而）有最大值，

所以，解得

于是所求橢圓的方程為

例10  求的最小值

錯解1 

錯解2 

錯誤分析  在解法1中，的充要條件是

即這是自相矛盾的。

在解法2中，的充要條件是

這是不可能的。

正確解法1

其中，當

正 確 解 法2 取正常數，易得

其中“”取“＝”的充要條件是

因此，當