Question

【題目】如圖所示，光滑水平軌道與半徑為R的光滑豎直半圓軌道在B點平滑連接。在過圓心O的水平界面MN的下方分布有水平向右的勻強電場。現有一質量為m，電荷量為＋q的小球從水平軌道上A點由靜止釋放，小球運動到C點離開圓軌道后，經界面MN上的P點進入電場(P點恰好在A點的正上方，如圖所示。小球可視為質點，小球運動到C點之前電荷量保持不變，經過C點后電荷量立即變為零)。已知A、B間距離為2R，重力加速度為g。在上述運動過程中，求

(1)電場強度E的大小；

(2)小球在圓軌道上運動時的最大速率

(3) 小球對圓軌道的最大壓力的大小

Answer 1

【答案】（1）E=；（2）；（3）F=（2+3）mg

【解析】

（1）設電場強度為E，小球從A到C由動能定理：

qE3Rmg2R=mvc2，

小球過C點時速度大小為vc，小球離開C點后做平拋運動到P點：

R= gt2，

2R=vct

聯立解得：E=，即電場強度E的大小為；

（2）設小球運動到圓周D點時速度最大為v，此時OD與豎直線OB夾角為α，小球從A運動到D過程，根據動能定理：

qE(2R+Rsinα)-mgR(1-cosα)=mv2，

即：mv2=mgR(sinα+cosα+1)

根據數學知識可得，當α=45°時動能最大，

由此可得：，

即小球在圓軌道上運動時的最大速率為。

(3)由于小球在D點時速度最大且電場力與重力的合力恰好沿半徑方向，故小球在D點對圓軌道的壓力最大，

設此壓力大小為F，由牛頓第三定律可知小球在D點受到的軌道彈力大小也為F，在D點對小球進行受力分析，并建立如圖所示坐標系

由牛頓第二定律：

FqEsinαmgcosα=

解得：F=（2+3）mg

即小球對圓軌道的最大壓力的大小（2+3）mg.