Question

【題目】如圖，一邊長(zhǎng)為L的正方形銅線(xiàn)框abcd可繞水平軸ab自由轉(zhuǎn)動(dòng)，一豎直向上的外力F作用在cd邊的中點(diǎn)，整個(gè)線(xiàn)框置于方向豎直向上的均勻磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小隨時(shí)間變化。已知該方形線(xiàn)框銅線(xiàn)的電導(dǎo)率(即電阻率的倒數(shù))為σ，銅線(xiàn)的半徑為r0，質(zhì)量密度為ρ，重力加速度大小為g。

（1）當(dāng)框平面與水平面abef的夾角為θ時(shí)，求該方形線(xiàn)框所受到的重力矩；

（2）當(dāng)框平面與水平面abef的夾角為θ時(shí)，框平面恰好處于平衡狀態(tài)。求此時(shí)線(xiàn)框中cd邊所受到的磁場(chǎng)B的作用力的大小與外力的大小F之間的關(guān)系式；

（3）隨著磁感應(yīng)強(qiáng)度大小隨時(shí)間的變化，可按照（2）中的關(guān)系式隨時(shí)調(diào)整外力F的大小以保持框平面與水平面abef的夾角總為θ．在保持夾角θ不變的情形下，已知在某一時(shí)刻外力為零時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B；求此時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化率││。

Answer 1

【答案】（1）2L2ρgπr02 cosθ；（2）安培力水平向左時(shí)：F安=2Lρgπr02 cotθ－Fcotθ；安培力水平向右時(shí)：F安= Fcotθ－2Lρgπr02 cotθ；（3）

【解析】

（1）該方形線(xiàn)框的質(zhì)量

m=ρV=ρS4L=4Lρπr02

方形線(xiàn)框的重力相對(duì)于AB邊的力矩為

Mg=mgcosθ=2L2ρgπr02 cosθ

（2）由于電流方向未知，所以引起的安培力方向及其力矩方向均未知，故需要分類(lèi)討論

情況1：安培力水平向左，力矩

M安+MF=Mg

M安=2L2ρgπr02 cosθ－FL cosθ

又因?yàn)?/span>

M安=F安Lsin θ

聯(lián)立得

F安=2Lρgπr02 cotθ－Fcotθ

情況2：安培力水平向右，同理 力矩

M安+ Mg =MF

得：

F安= Fcotθ－2Lρgπr02 cotθ

（3）磁通量

φ(θ)=L2Bcosθ

感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

ε==L2cosθ││

方形線(xiàn)框的電阻R，由電阻定律有

R=ρ

該方形線(xiàn)框上的感應(yīng)電流為

i=cosθ││

cd邊所受到的安培力的大小為

FA=iBL=cosθ││

因?yàn)橐�外�?/span>F等于零，所以是第（2）小題中的第1種情況

││=