Question

如圖所示，水平軌道AB與半徑為R的豎直半圓形軌道BC相切于B點．質量為2m和m的a、b兩個小滑塊（可視為質點）原來靜止于水平軌道上，其中小滑塊a與一輕彈簧相連．某一瞬間給小滑塊a一沖量使其獲得v0=

3

2

gR

的初速度向右沖向小滑塊b，與b碰撞后彈簧不與b相粘連，且小滑塊b在到達B點之前已經和彈簧分離，不計一切摩擦，求：
（1）a和b在碰撞過程中彈簧獲得的最大彈性勢能；
（2）小滑塊b經過圓形軌道的B點時對軌道的壓力；
（3）試通過計算說明小滑塊b能否到達圓形軌道的最高點C．

Answer 1

分析：（1）碰撞過程動量守恒，當兩球的速度相等時，系統損失動能最大，此時對應的彈性勢能最大．
（2）當彈簧恢復原長時，b球速度最大，此時b球向右運動滑上軌道，根據動量守恒、機械能守恒以及向心力公式可求得正確結果．
（3）根據完成圓周運動的臨界條件，判斷b球是否能通過最高點．

解答：解：（1）a與b碰撞達到共速時彈簧被壓縮至最短，彈性勢能最大．設此時ab的速度為v，則由系統的動量守恒可得：
2mv₀=3mv
由機械能守恒定律：

1

2

?2m

v

2 0

=

1

2

?3mv2+Epm
解得：Epm=

3

4

mgR
（2）當彈簧恢復原長時彈性勢能為零，b開始離開彈簧，此時b的速度達到最大值，并以此速度在水平軌道上向前勻速運動．設此時a、b的速度分別為v₁和v₂，由動量守恒定律和機械能守恒定律可得：
2mv₀=2mv₁+mv₂

1

2

?2m

v

2 0

=

1

2

?2m

v

2 1

+

1

2

m

v

2 2

解得：v2=2

gR

（1分）
滑塊b到達B時，根據牛頓第二定律有：N-mg=m

v 2 2

R

解得：N=5mg  
根據牛頓第三定律滑塊b在B點對軌道的壓力N′=5mg，方向豎直向下． 
（3）設b恰能到達最高點C點，且在C點速度為v_C，此時軌道對滑塊的壓力為零，滑塊只受重力，由牛頓第二定律：mg=m

v 2 C

R

解得：vC=

gR

再假設b能夠到達最高點C點，且在C點速度為v_C'，由機械能守恒定律可得：

1

2

m

v

2 2

=2mgR+

1

2

mv

′

2 C

解得：v_C'=0＜

gR

．所以b不可能到達C點，假設不成立．       
答：（1）a和b在碰撞過程中彈簧獲得的最大彈性勢能為

3

4

mgR；
（2）小滑塊b經過圓形軌道的B點時對軌道的壓力為5mg；
（3）小滑塊b不能到達圓形軌道的最高點C．

點評：本題綜合性較強，考查了動量守恒、機械能守恒定律以及完成圓周運動的臨界條件的應用，注意把運動過程分析清楚，正確應用相關定律求解．