Question

質量m=1.0kg的甲物體與豎直放置的輕彈簧的上端連接，彈簧下端固定在地面上，如右圖所示．質量m=1.0kg的乙物體從甲物體正上方，距離甲物體h=0.40m處自由落下，撞在甲物體上在極短的時間內與甲物體粘在一起（不再分離）向下運動．它們到達最低點后又向上運動，上升的最高點比甲物體初始位置高H=0.10m．已知彈簧的勁度系數(shù)k=200N/m，且彈簧始終在彈性限度內，空氣阻力可忽略不計，重力加速度g取10m/s²．求：
（1）乙物體和甲物體碰撞過程中損失的動能；
（2）乙物體和甲物體碰撞后一起向下運動的最大距離．

Answer 1

分析：（1）乙物體自由下落，由高度求出與甲碰撞前的速度，乙物體和甲物體碰撞過程中遵守動量守恒定律，根據動量守恒定律求出碰撞后兩物體的速度，再求解碰撞過程中損失的動能．
（2）由胡克定律分別求出甲物體靜止時和甲乙通過平衡位置時彈簧的壓縮量，求出簡諧運動的振幅A，根據簡諧運動的對稱性，分析甲乙向下運動的最大距離與振幅A、彈簧壓縮量的關系求解．

解答：解：（1）設乙物體和甲物體碰撞前瞬間乙物體的速度大小為v₁，
            根據v₁²=2gh    解得v₁=2

2

 m/s=2.8 m/s
         設乙物體和甲物體碰撞后的共同速度大小為v₂，
            由動量守恒定律有mv₁=2mv₂
            解得v₂=

1

2

v₁=

2

m/s=1.4 m/s
        則碰撞后系統(tǒng)的動能E_k2=

1

2

 （2m）v₂²=2 J   
        甲、乙物體構成的系統(tǒng)碰撞前的動能E_k1=4 J，故乙物體和甲物體碰撞過程中損失的機械能
△E=E_k1-E_k2=2 J                
    （2）設甲物體靜止時彈簧壓縮量為x₁，根據平衡條件，
           解得x₁=

mg

k

=5.0 cm
        甲和乙碰撞后做簡諧運動，在通過平衡位置時兩物體所受合力為零，速度最大，設此時彈簧壓縮量為x₂，
           解得x₂=

2mg

k

=10 cm
        甲物體和乙物體一同上升到最高點，兩物體與簡諧運動平衡位置的距離，即簡諧運動的振幅
           A=x₂+（H-x₁）=15 cm
      根據簡諧運動的對稱性可知，兩物體向下運動的最大距離
          x=A+（x₂-x₁）=20 cm            
答：（1）乙物體和甲物體碰撞過程中損失的動能為2J；
    （2）乙物體和甲物體碰撞后一起向下運動的最大距離0 20cm．

點評：本題考查分析和處理物理綜合題的能力．關鍵在于運用簡諧運動的對稱性，根據幾何關系分析振幅、彈簧壓縮量和最大距離的關系．在考試中，第（1）問必須得全分．