Question

如圖所示，質量為m=0.1kg可視為質點的小球從靜止開始沿半徑為R₁=35cm的圓弧軌道AB由A點滑到B點后，進入與AB圓滑連接的1/4圓弧管道BC．管道出口處為C，圓弧管道半徑為R₂=15cm，在緊靠出口C處，有一水平放置且繞其水平軸線勻速旋轉的圓筒（不計筒皮厚度），筒上開有小孔D，筒旋轉時，小孔D恰好能經過出口C處，若小球射出C出口時，恰好能接著穿過D孔，并且還能再從D孔向上穿出圓筒，小球到最高點后返回又先后兩次向下穿過D孔而未發生碰撞，不計摩擦和空氣阻力，取g=10m/s²，問：
（1）小球到達B點的瞬間前后對軌道的壓力分別為多大？
（2）小球到達C點的速度多大？
（3）圓筒轉動的最大周期T為多少？

Answer 1

分析：（1）從A到B過程，由動能定理可以求出小球到達B點的速度，然后由牛頓第二定律可以求出小球對軌道的壓力．
（2）從B到C過程，由動能定理可以求出小球到達C點時的速度．
（3）分析清楚小球的運動過程，找出小球運動時間與圓筒周期間的關系，應用豎直上拋運動規律可言求出周期最大值．

解答：解：（1）從A到B，由動能定理得：mgR₁=

1

2

mv_B²-0，v_B=

7

m/s，
由牛頓第二定律得：
到達B點瞬間前：N₁-mg=m

v 2 B

R1

，
到達B點瞬間后：N₂-mg=m

v 2 B

R2

，
由牛的第三定律得：小球對軌道的壓力為：
N₁′=N₁=3N，N₂′=N₂=5.7N；
（2）從B到C過成中，由動能定理可得：
-mgR₂=

1

2

mv_C²-

1

2

mv_B²，解得：v_C=2m/s；
（3）小球向上穿過圓筒D孔又從D孔向上穿出所用的時間t₁=

2k-1

2

T（k=1、2、3…），
小球向上穿出D孔后豎直上拋又返回到D孔進入圓筒所用時間為2t₂=nT（n=1、2、3…），
由豎直上拋運動規律可得：0=v_C-g（t₁+t₂），所以T=

0.4

2k+n-1

，當k=n=1時，
T有最大值，最大值T_m=0.2s；
答：（1）小球到達B點的瞬間前后對軌道的壓力分別為3N、5.7N；
（2）小球到達C點的速度為2m/s；
（3）圓筒轉動的最大周期T為0.2s．

點評：熟練應用動能定理或機械能守恒定律即可正確解題，本題最后一問是本題的難點，分析清楚小球運動過程是正確解題的關鍵．