Question

【題目】處于自然狀態(tài)的物體會(huì)不斷地向外輻射電磁波，同時(shí)也會(huì)吸收由其他物體輻射來(lái)的電磁波，當(dāng)輻射和吸收達(dá)到平衡時(shí)，物體的溫度保持不變。如果某物體能完全吸收入射到其表面的各種波長(zhǎng)的電磁波而不發(fā)生反射，這種物體就稱為黑體。黑體也會(huì)同時(shí)向外輻射電磁波，已知單位時(shí)間內(nèi)從黑體表面單位面積輻射出電磁波的能量I與黑體表面熱力學(xué)溫度T的4次方成正比，即I=σT4，其中σ為已知常量。

（1）若將火星看成表面溫度相同的球形黑體，火星的半徑為r，火星中心到太陽(yáng)中心的距離為L，且L遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于r，所以火星接收到來(lái)自太陽(yáng)的輻射可視為垂直射到面積為πr2的圓面上。已知太陽(yáng)向外輻射電磁波的總功率為P1�；鹦谴髿鈱訉�(duì)太陽(yáng)輻射的吸收和反射、太陽(yáng)輻射在傳播過(guò)程中的能量損失，以及其他天體和宇宙空間的輻射均可忽略不計(jì)。

① 求在火星表面垂直于太陽(yáng)和火星連線的單位面積接收到的來(lái)自太陽(yáng)輻射的功率P0；

② 設(shè)火星向四面八方各個(gè)方向均勻輻射，請(qǐng)寫出當(dāng)吸收和輻射達(dá)到平衡時(shí)火星表面熱力學(xué)溫度T火的表達(dá)式。

（2）太陽(yáng)輻射電磁波的能量來(lái)源于如圖甲所示的太陽(yáng)中心的“核反應(yīng)區(qū)”�！昂朔磻�(yīng)區(qū)”產(chǎn)生的電磁波在向太陽(yáng)表面?zhèn)鞑サ倪^(guò)程中，會(huì)不斷被太陽(yáng)的其他部分吸收，然后再輻射出頻率更低的電磁波。為了研究“核反應(yīng)區(qū)”的溫度，某同學(xué)建立如下簡(jiǎn)化模型：如圖乙所示，將“核反應(yīng)區(qū)”到太陽(yáng)表面的區(qū)域視為由很多個(gè)“薄球殼層”組成，第1“薄球殼層”的外表面為太陽(yáng)表面；各“薄球殼層”的內(nèi)、外表面都同時(shí)分別向相鄰內(nèi)“薄球殼層”和外“薄球殼層”均勻輻射功率相等的電磁波（第1“薄球殼層”的外表面向太空輻射電磁波，最內(nèi)側(cè)的“薄球殼層”的內(nèi)表面向“核反應(yīng)區(qū)”輻射電磁波），如圖丙所示；“核反應(yīng)區(qū)”產(chǎn)生的電磁波的能量依次穿過(guò)各“薄球殼層”到達(dá)太陽(yáng)的表面，每個(gè)“薄球殼層”都視為黑體，且輻射和吸收電磁波的能量已達(dá)到平衡，所以各“薄球殼層”的溫度均勻且恒定。

已知太陽(yáng)表面熱力學(xué)溫度為T1，所構(gòu)想的“薄球殼層”數(shù)目為N，太陽(yáng)半徑R1與“核反應(yīng)區(qū)”的半徑RN滿足R1=kRN（k為已知的常數(shù)），第1“薄球殼層”的外表面向外輻射電磁波的總功率為P1。請(qǐng)根據(jù)該同學(xué)建立的模型和題目中給出的信息，解答下列問(wèn)題。

① 求第2、第3和第N“薄球殼層”向相鄰的外“薄球殼層”輻射電磁波的功率P2、P3和PN；

② 若認(rèn)為“核反應(yīng)區(qū)”的溫度和第N“薄球殼層”的溫度TN相等，請(qǐng)推導(dǎo)出“核反應(yīng)區(qū)”熱力學(xué)溫度TN的表達(dá)式。結(jié)合所得到TN的表達(dá)式，請(qǐng)說(shuō)明該同學(xué)的模型是否合理？若不合理，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）①；②T火=；（2）①2P1，3P1，NP1；②見(jiàn)解析

【解析】

（1）①在以太陽(yáng)為中心L為半徑的球面上，單位面積接收到的太陽(yáng)輻射的功率為

這就是在火星表面垂直于太陽(yáng)和火星連線上單位面積接收到的來(lái)自太陽(yáng)輻射的功率。

②火星接收到的來(lái)自太陽(yáng)的電磁輻射總功率

P火=

火星吸收太陽(yáng)的電磁波的能量與自身輻射電磁波的能量達(dá)到平衡時(shí)有

P火=

根據(jù)題意有

I=σT火4

聯(lián)立以上3式，解得

T火=

（2）①根據(jù)題意，當(dāng)輻射和吸收電磁波的能量達(dá)到平衡時(shí)

對(duì)于第一層有

P2=2P1

對(duì)于第二層有

2P2= P3+P1

所以

P3=3P1

對(duì)于第三層有

2P3= P4+P2

所以

P4=4P1

由此可推知

PN=NP1

② 太陽(yáng)表面單位時(shí)間內(nèi)向外輻射的總功率為P1，則在太陽(yáng)表面

同理，對(duì)于第N薄球殼層應(yīng)有

聯(lián)立以上兩式得

這個(gè)模型不太合理。薄球殼的層數(shù)沒(méi)有確定，而根據(jù)表達(dá)式，分的薄球殼層數(shù)越多，核反應(yīng)層溫度越高，當(dāng)N趨近無(wú)窮大時(shí)，溫度趨近于無(wú)窮高。但實(shí)際核反應(yīng)層的溫度應(yīng)該是一個(gè)有限值。