Question

如圖1所示，在x軸上0到d范圍內存在電場（圖中未畫出），x軸上各點的電場沿著x軸正方向，并且電場強度大小E隨x的分布如圖2所示；在x軸上d到2d范圍內存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B．一質量為m，電量為+q粒子沿x軸正方向以一定速度從O點進入電場，最終粒子恰從坐標為（2d，

3

3

d）的P點離開磁場．不計粒子重力．
（1）求在x=0.5d處，粒子的加速度大小a；
（2）求粒子在磁場中的運動時間t；
（3）類比是一種常用的研究方法．對于直線運動，教科書中講解了由v-t圖象求位移的方法．請你借鑒此方法，并結合其他物理知識，求電場對粒子的沖量大小I．

Answer 1

（1）由圖象，x=0.5d處，電場強度為E=0.5E₀，由牛頓第二定律得：
qE=ma
解得：a=

qE0

2m

．
（2）在磁場中運動軌跡如圖，設半徑為R，由幾何關系
R2=d2+(R-

3

3

d)2
解得：R=

2 3

3

d．
設圓弧所對圓心為α，滿足：sinα=

d

R

=

3

2

解得：α=

π

3

．
粒子在磁場中做圓周運動，設在磁場中運動的周期為T，粒子在磁場的運動速率為v，
圓運動半徑為R，根據牛頓第二定律：
qvB=m

v2

R

粒子運動的周期T=

2πR

v

=

2πm

qB

．
所以，粒子在磁場中運動時間t=

α

2π

T=

πm

3qB

．
（3）粒子在磁場中做圓周運動，由牛頓第二定律得：
qvB=m

v2

R

，又粒子做圓周運動的半徑R=

2 3

3

d．
解得粒子在磁場中的運動速度v=

2 3 qBd

3m

．
由圖象可知，電場中電場力對粒子做功W=

1

2

qE0d．
設粒子剛進入電場時速度為v₀，根據動能定理：W=

1

2

mv2-

1

2

mv02．
解得：v0=

v2- 2W m

=

( 2 3 qBd 3m )2- qE0d m

．
根據動量定理：I=mv-mv0=

2 3 qBd

3

-

4q2B2d2 3 -qE0dm

．
答：（1）在x=0.5d處，粒子的加速度大小為

qE0

2m

．
（2）粒子在磁場中的運動時間為

πm

3qB

．
（3）電場對粒子的沖量大小為

2 3 qBd

3

-

4q2B2d2 3 -qE0dm

．