Question

（2006?西城區一模）如圖所示，兩根足夠長的直金屬導軌MN、PQ平行放置在傾角為θ的絕緣斜面上，兩導軌間距為L．M、P兩點間接有阻值為R的電阻．一根質量為m的均勻直金屬桿ab放在兩導軌上，并與導軌垂直．整套裝置處于勻強磁場中，磁場方向垂直于斜面向上．導軌和金屬桿的電阻可忽略．讓金屬桿ab沿導軌由靜止開始下滑，經過足夠長的時間后，金屬桿達到最大速度v_m，在這個過程中，電阻R上產生的熱為Q．導軌和金屬桿接觸良好，它們之間的動摩擦因數為μ，且μ＜tanθ．已知重力加速度為g．
（1）求磁感應強度的大小；
（2）金屬桿在加速下滑過程中，當速度達到

1

3

v_m時，求此時桿的加速度大小；
（3）求金屬桿從靜止開始至達到最大速度的過程中下降的高度．

Answer 1

分析：（1）金屬桿先沿導軌向下做加速度減小的變加速運動，后做勻速運動，速度達到最大值，此時金屬桿受力平衡，根據平衡條件和安培力公式，求出磁感應強度B的大小．
（2）金屬桿在加速下滑過程中，當速度達到

1

3

vm時，求出安培力，由牛頓第二定律求解加速度大小．
（3）金屬桿從靜止開始至達到最大速度的過程中，其重力勢能減小，轉化為桿的動能、摩擦生熱和電路中的焦耳熱，根據能量守恒定律求解桿下降的高度．

解答：解：（1）當桿達到最大速度時受力平衡，受力如圖　　

mgsinθ=BIL+μN         
N=mgcosθ                 
電路中電流　I=

E

R

=

BLvm

R

             
解得　　B=

mgR(sinθ-μcosθ) L2vm

  
（2）當桿的速度為

1

3

vm時，由牛頓第二定律：mgsinθ-BIL-μN=ma  
此時電路中電流：I′=

E′

R

=

BLvm

3R

　         
解得　a=

2

3

gsinθ-

2

3

μgcosθ   
（3）設金屬桿從靜止開始至達到最大速度的過程中下降的高度為h，由能量守恒：mgh=

1

2

m

v

2 m

+Q+μmgcosθ?s　
又　　    h=s?sinθ                       
解得　　 h=

m v 2 m +2Q

2mg(1-μcotθ)

答：（1）磁感應強度的大小B=

mgR(sinθ-μcosθ) L2vm

；
（2）當速度達到

1

3

v_m時，求此時桿的加速度大小a=

2

3

gsinθ-

2

3

μgcosθ；
（3）金屬桿下降的高度h=

m v 2 m +2Q

2mg(1-μcotθ)

．

點評：本題的關鍵是會推導安培力的表達式，根據平衡條件、牛頓第二定律和能量守恒研究電磁感應現象，常規題．