Question

如圖所示，在xOy平面內y>0的區域中存在垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B₀，在y<0的區域也存在垂直紙面向外的勻強磁場(圖中未畫出)，一帶正電的粒子從y軸上的P點垂直磁場入射，速度方向與y軸正向成45¡。粒子第一次進入y<0的區域時速度方向與x軸正向成135¡，再次在y>0的區域運動時軌跡恰與y軸相切。已知OP的距離為，粒子的重力不計，求：
(1)y<0的區域內磁場的磁感應強度大小；
(2)粒子第2n(n∈N^＋)次通過x軸時離O點的距離(本問只需寫出結果)。

Answer 1

(1)，；(2) (n∈N^＋)，(n∈N^＋)

(1)當粒子通過y軸時速度方向沿y軸負方向時，粒子運動的軌跡如圖1所示。

　　設粒子第一次、第二次通過x軸上的點為分別為Q、M，粒子在y>0和y<0區域作圓周運動的半徑分別為R₀和R₁，通過y軸上的點為N，y<0區域的磁感應強度大小為B₁
　　連接PQ，由題意知，�、�(2分)
　　又有幾何關系可得：PQ=2a②　(2分)
　　由①②式可得：R₀=a　③(2分)
　　過M、N兩點分別作該點速度方向的垂線，兩垂線相交于O₁點，O₁即為粒子在y>0區域作圓周運動的圓心
　　由幾何關系可得：
　　粒子在y<0區域內作圓周運動的弦長
　　粒子在y<0區域內作圓周運動的半徑�、�(2分)
　　帶電粒子在磁場中作圓廚運動的半徑公式　⑤(2分)
　　由③④⑤式可得：�、�(2分)
　　當粒子通過y軸時速度方向沿y軸正向時，粒子運動的軌跡如圖2所示。

　　設粒子第一次、第二次通過x軸上的點為分別為T、S，粒子在y<0區域作圓周運動的半徑為R₂，y<0區域的磁感應強度大小為B2
　　由幾何關系可以求得：⑦(2分)
　　由③④⑦式可得：　⑧(2分)
　　(2)設粒子在兩種情況下，第2n次通過x軸時離O點的距離分別為S_I、S_Ⅱ，當粒子通過y軸時速度方向沿y軸負向時，由幾何關系可推算出：
　　(n∈N^＋)⑨(2分)
　　當粒子通過y軸時速度方向沿y軸正向時，由幾何關系可推算出：
　　(n∈N^＋)⑩(2分)