Question

如圖，ABCD是邊長為的正方形。質量為、電荷量為的電子以大小為的初速度沿紙面垂直于BC邊射入正方形區域。在正方形內適當區域中有勻強磁場。電子從BC邊上的任意點入射，都只能從A點射出磁場。不計重力，求：

（1）次勻強磁場區域中磁感應強度的方向和大小；
（2）此勻強磁場區域的最小面積。

Answer 1

見解析

（1）設勻強磁場的磁感應強度的大小為B。令圓弧是自C點垂直于BC入射的電子在磁場中的運行軌道。電子所受到的磁場的作用力


應指向圓弧的圓心，因而磁場的方向應垂直于紙面向外。圓弧的圓心在CB邊或其延長線上。依題意，圓心在A、C連線的中垂線上，故B 點即為圓心，圓半徑為按照牛頓定律有

聯立①②式得

（2）由（1）中決定的磁感應強度的方向和大小，可知自點垂直于入射電子在A點沿DA方向射出，且自BC邊上其它點垂直于入射的電子的運動軌道只能在BAEC區域中。因而，圓弧是所求的最小磁場區域的一個邊界。
為了決定該磁場區域的另一邊界，我們來考察射中A點的電子的速度方向與BA的延長線交角為（不妨設）的情形。該電子的運動軌跡如右圖所示。
圖中，圓的圓心為O，pq垂直于BC邊，由③式知，圓弧的半徑仍為，在D為原點、DC為x軸，AD為軸的坐標系中，P點的坐標為

這意味著，在范圍內，p點形成以D為圓心、為半徑的四分之一圓周，它是電子做直線運動和圓周運動的分界線，構成所求磁場區域的另一邊界。
因此，所求的最小勻強磁場區域時分別以和為圓心、為半徑的兩個四分之一圓周和所圍成的，其面積為