Question

如圖所示，光滑軌道ABCD固定在豎直平面內，由直軌道AB與圓弧軌道BCD平滑相切對接組成．圓弧的圓心為O點，半徑大小為R，OB與豎直方向OC夾角θ=37°，D點與圓心O點等高；豎直且過B點的直線PQ右側空間內，被水平且過O點、D點的直線MN分為下區域Ⅰ和上區域Ⅱ，下區域Ⅰ內存在水平向右的勻強電場，場強為

E

1

，上區域Ⅱ內存在垂直紙面向里的勻強電場，場強為

E

2

．質量為m，電荷量為q的帶正電小滑塊（可視為質點），從直軌道上A點由靜止開始下滑，A點離軌道最低點C的高度為2R，已知

E

1

=

mg

q

，

E

2

=

3mg

4q

，求：
（1）小滑塊滑到C點時對軌道壓力大小；
（2）小滑塊離開D點后，運動到與D點等高時，距D點的水平距離；
（3）小滑塊離開D點后，在區域Ⅱ運動過程中，經多長時間，它所受合外力的瞬時功率最小．

Answer 1

（1）小滑塊在C點：F_C-mg=m

vc2

R

小滑塊A→C：mg?2r+qE₁?Rsinθ=

1

2

mv_c²
已知qE₁=mg，解得：F_c=6.2mg
由牛頓第三定律F_C′=6.2mg
（2）小滑塊從A→D：
mg?r+qE₁?R（1+sinθ）=

1

2

mv_D²
解得：v_D=

5.2gR

小滑塊離開D點后，豎直方向做豎直上拋運動，垂直直面向里的水平方向做初速度為0的勻加速直線運動
豎直方向：t=

2vD

g

=2

5.2R g

水平方向：a=

qE2

m

=

3

4

g
s=

1

2

at²
解得：s=7.8R
（3）當qE₂與mg的合力方向與v方向垂直時，合外力的瞬時功率最小，等于零，此時v方向與水平夾角為37°
設經過的時間為t，
v_x=at=

3

4

gt
v_y=v_D-gt

vy

vx

=tan37°=

3

4

解得：t=

16

25

5.2R g

答：（1）小滑塊滑到C點時對軌道壓力大小為6.2mg；
（2）小滑塊離開D點后，運動到與D點等高時，距D點的水平距離為7.8R；
（3）小滑塊離開D點后，在區域Ⅱ運動過程中，經時間

16

25

5.2R g

，它所受合外力的瞬時功率最小．